РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 644 Добавить в вариант

Найдите все пары чисел (a, b), при которых функция

$f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: левая круглая скобка a плюс 5b правая круглая скобка x плюс a плюс b, знаменатель: ax плюс b конец дроби$

постоянна во всей области ее определения.

Спрятать решение

Решение.

Отметим сначала, что при $a=b=0$ функция $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ не определена ни для одного значения x. Если $a=0,$ $b не равно q 0,$ то получаем $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =5 x плюс 1$ и $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ не является постоянной, значит, $a не равно q 0.$

Пусть теперь при всех x из области определения $D левая круглая скобка f правая круглая скобка$ функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ то есть при всех $x не равно q минус дробь: числитель: b, знаменатель: a конец дроби$ выполняется равенство $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =k.$ Тогда, учитывая представление $f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ получим

$левая круглая скобка a плюс 5 b правая круглая скобка x плюс a плюс b=k a x плюс k b,$

или

$левая круглая скобка a плюс 5 b минус k a правая круглая скобка x плюс левая круглая скобка a плюс b минус k b правая круглая скобка =0,$

при всех $x принадлежит D левая круглая скобка f правая круглая скобка .$ А это возможно тогда и только тогда, когда выполнятся следующая система уравнений:

$система выражений a плюс 5 b минус k a=0,a плюс b минус k b=0. конец системы .$

Откуда получаем $a= левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка b,$ и затем $левая круглая скобка k в квадрате минус 2 k минус 4 правая круглая скобка b=0.$ Если $b=0,$ то и $a=0,$ чего быть не может, как отмечалось выше, следовательно,

$k в квадрате минус 2 k минус 4=0,$ $\quad k=1 \pm корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента ,$ $\quad a= левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка b=\pm корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента b,$

где $b не равно q 0.$

Ответ: $a=\pm корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента b,$ $b не равно q 0.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Баллы	Критерии оценивания
7	Полное обоснованное решение.
6	Обоснованное решение с несущественными недочетами.
5−6	Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений.
4	Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев.
2−3	Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи.
1	Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении.
0	Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Открытая олимпиада вузов Томской области, 8 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Анализ. Свойства функций (четность, периодичность, ...)

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь