Всего: 223 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 | 121–140 …
Добавить в вариант
Найдите все пары чисел (a, b), при которых функция
постоянна во всей области ее определения.
Аналогичное решение этой задачи присутствует в варианте 1 под номером 644.
Ответ:
Баллы | Критерии оценивания |
---|---|
7 | Полное обоснованное решение. |
6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Вычислите сумму:
Аналогичное решение этой задачи присутствует в варианте 1 под номером 636.
Ответ:
Баллы | Критерии оценивания |
---|---|
7 | Полное обоснованное решение. |
6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Решите в целых числах уравнение:
Решение этой задачи полностью совпадает с решением задачи в варианте 1 под номером 646.
Ответ:
Баллы | Критерии оценивания |
---|---|
7 | Полное обоснованное решение. |
6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Замечание. За каждое правильное решение, найденное подбором — 1 балл.
Из городка «Ух» в городок «Ах» в утра выехал Иван на своем велосипеде, проехав две пятых пути, он миновал городок «Ох», из которого в этот момент времени в городок «Ух» отправился Петр пешком. В тот момент времени, когда Иван прибыл в городок «Ах», оттуда в обратном направлении выехал Николай на своем велосипеде и прибыл в городок «Ух» в этого же дня. В скольких километрах от городка «Ах» Николай догнал Петра, если Петр прибыл в городок «Ух» в того же дня, при этом скорость каждого участника движения была постоянной, а расстояние между городками «Ух» и «Ах» составляет всего
Аналогичное решение этой задачи присутствует в варианте 1 под номером 647.
Ответ: 5 км.
Баллы | Критерии оценивания |
---|---|
7 | Полное обоснованное решение. |
6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Найдите количество целых чисел, принадлежащих множеству значений функции:
С помощью формулы преобразуем данную функцию к виду
Значения косинуса целиком заполняют промежуток
при условии, что Наименьшее и наибольшее значение находим обоснованно любым способом (графически, через производную, выделением полного квадрата), в результате чего, имеем
Таким образом, множество значений Функции содержит восемь целых чисел: −2022, −2021, −2020, −2019, −2018, −2017, −2016, −2015.
Ответ: 8.
Баллы | Критерии оценивания |
---|---|
7 | Полное обоснованное решение. |
6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Одна сторона некоторого треугольника в два раза больше другой, а периметр этого треугольника равен 56, учетверенная наименьшая сторона на 21 длиннее наибольшей из сторон. Найдите стороны этого треугольника.
Аналогичное решение этой задачи присутствует в варианте 1 под номером 649.
Ответ: 11, 22, 23.
Баллы | Критерии оценивания |
---|---|
7 | Полное обоснованное решение. |
6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Замечание. За правильное решение, найденное подбором – 1 балл.
Решить систему уравнений:
Аналогичное решение этой задачи присутствует в варианте 1 под номером 642.
Ответ:
Баллы | Критерии оценивания |
---|---|
7 | Полное обоснованное решение. |
6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Найдите сумму чисел:
Вычислим:
Ответ:
Баллы | Критерии оценивания |
---|---|
7 | Полное обоснованное решение. |
6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Пусть В — множество всех четырнадцатизначных натуральных чисел, для каждого из которых выполняется два условия: оно является квадратом целого числа и в его десятичной записи в разряде десятков стоит цифра 5. Докажите, что все числа из множества В четные и множество В содержит более чем чисел.
Аналогичное решение подобной задачи присутствует в варианте 1 под номером 645, тем не менее укажем важное отличие: в каждой последовательной сотне существуют четыре числа, квадраты которых имеют цифру 5 в разряде десятков. Это числа вида
где
Баллы | Критерии оценивания |
---|---|
7 | Полное обоснованное решение. |
6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Функция f удовлетворяет равенству
для каждого значения x, не равного 0 и 1. Найдите
Подставим в исходное равенство вместо x. Получим вместе с исходным равенством систему линейных уравнений относительно и
Решая полученную систему, находим Следовательно,
Ответ: 2019.
Баллы | Критерии оценивания |
---|---|
7 | Полное обоснованное решение. |
6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Все ребра правильной четырехугольной пирамиды SABCD имеют равную длину. Плоскость перпендикулярна прямой SA, а плоскость параллельна прямой CD. Определите наименьший возможный угол между плоскостями и
Аналогичное решение подобной задачи присутствует в варианте 1 под номером 648, тем не менее отметим для этой задачи следующее: Треугольник ASC прямоугольный. Пусть плоскость α проходит через точку S, тогда прямая Если провести плоскость β через прямую CD и считать, что все ребра равны 1, то длина перпендикуляра, опущенного из D на равна Тогда CD — отрезок, соединяющий D и ребро двугранного угла, Если
Ответ:
Баллы | Критерии оценивания |
---|---|
7 | Полное обоснованное решение. |
6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Для любой пары чисел определена некоторая операция «*», удовлетворяющая следующим свойствам: и где операция «⋅» — операция умножения. Найдите корень x уравнения:
Учитывая условие задачи, имеем Тогда
1)
2)
Следовательно,
Ответ: 4036.
Баллы | Критерии оценивания |
---|---|
7 | Полное обоснованное решение. |
6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Всех пассажиров небольшого морского лайнера «Победа» в случае экстренной эвакуации можно разместить в 5-ти и 9-ти местных шлюпках, причем 9-ти местных шлюпок больше, чем 5-тиместных. Если число 9-ти местных шлюпок увеличить вдвое, то общее число шлюпок будет более 24, а если увеличить вдвое число 5-ти местных шлюпок, то общее число шлюпок будет меньше 27. Определите число пассажиров морского лайнера «Победа».
Пусть x, y — число 5-ти, 9-ти местных шлюпок соответственно, а z — число всех пассажиров. Тогда где x, y удовлетворяют системе неравенств:
Рассмотрим первые два неравенства системы более детально.
1) Умножая первое неравенство на имеем
Сложим эти два неравенства и получим следовательно,
2) Умножая второе неравенство на (−2), имеем
Сложим эти два неравенства и получим следовательно,
Далее перебор, удовлетворяющий системе неравенств и полученным ограничениям, а затем вычисление числа всех пассажиров (значения z расположены в ячейках на пересечении строк и столбцов для соответствующих x, y).
Ответ: 60 возможных вариантов приведены в таблице ниже.
Баллы | Критерии оценивания |
---|---|
7 | Полное обоснованное решение. |
6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Косинус угла между боковыми сторонами AD и BC трапеции ABCD равен 0,8. В трапецию вписана окружность, причем сторона AD делится точкой касания на отрезки длины 1 и 4. Определите длину боковой стороны BC трапеции.
Пусть S — точка пересечения прямых AD и BC; K, L, M — точки касания вписанной в трапецию окружности со сторонами AB, AD и CD соответственно, O — ее центр. Тогда OK и AB, OM и CD перпендикулярны друг другу, как радиусы, и поскольку AB параллельна CD, точки K, O, M лежат на одной прямой, то есть KM — диаметр. Условию задачи отвечают два возможных случая расположения точки L на стороне AD.
1) В этом случае (рис. 2). Тогда Опустим Учитывая, что AN параллельна KM, получаем В прямоугольном треугольнике ADN гипотенуза равна катет следовательно, Значит, а учитывая условие задачи, приходим к выводу, что а прямая SC параллельна AN. Следовательно, трапеции прямой, а длина
2) В этом случае (рис. 3). Как и раньше, длина перпендикуляра Острый угол является внешним для трапеции и треугольника поэтому
Учитывая, что находим
Так как то
Ответ: 4 или
Баллы | Критерии оценивания |
---|---|
7 | Полное обоснованное решение. |
6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Найти все x, для которых где — целая часть числа x, — дробная часть числа x, то есть
Из уравнения и определений следует, что а Рассмотрим уравнение
1) если то отсюда
2) если то
Так как то решения исходного уравнения
Ответ:
Баллы | Критерии оценивания |
---|---|
7 | Полное обоснованное решение. |
6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Найдите сумму чисел:
Аналогичное решение этой задачи присутствует в варианте 1 под номером 658.
Ответ:
Баллы | Критерии оценивания |
---|---|
7 | Полное обоснованное решение. |
6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Функция f удовлетворяет равенству
для каждого значения x, не равного 0 и 1. Найдите
Аналогичное решение этой задачи присутствует в варианте 1 под номером 660.
Ответ: 2019.
Баллы | Критерии оценивания |
---|---|
7 | Полное обоснованное решение. |
6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Два учителя математики принимают зачет по геометрии, проверяя умение решать задачи и знание теории у каждого из учеников 10 класса. У первого учителя на 1 ученика уходит соответственно 5 и 7 минут, а у второго учителя на 1 ученика ⎯ 3 и 4 минуты. За какое наименьшее время они сумеют опросить 25 учеников?
Пусть первый учитель принял зачет по задачам у X учеников, а по теории у Y учеников. Тогда второй учитель принял зачет по задачам у учеников, а по теории у учеников. Пусть T — минимальное время, за которое они сумеют опросить 25 учеников. Тогда, учитывая условие задачи, составим систему неравенств
Откуда
Значит, меньше, чем за 110 минут принять зачет у 25 учеников невозможно.
Приведем пример (достижимости границы):
Первый учитель принимает
Ответ: 110 минут.
Баллы | Критерии оценивания |
---|---|
7 | Полное обоснованное решение. |
6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Относительно квадратного трехчлена известно, что он имеет два различных корня и удовлетворяет условию для любых x и y. Возможно ли, чтобы хотя бы один из корней является отрицательным?
Решим задачу методом от противного. Предположим, что оба корня квадратного трехчлен а неотрицательны. Возьмем и подставим в неравенство, следовательно, получим, что для любого x.
Тогда для любого Отметим, что из этого, в частности, следует, что ветви параболы направлены вверх. Так как абсцисса вершины параболы положительна, то с одной стороны для нее должно выполняться а с другой стороны Пришли к противоречию.
Ответ: нет.
Баллы | Критерии оценивания |
---|---|
7 | Полное обоснованное решение. |
6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Для любой пары чисел определена некоторая операция «*», удовлетворяющая следующим свойствам: и где операция «⋅» — операция умножения. Найдите корень xуравнения:
Аналогичное решение этой задачи присутствует в варианте 1 под номером 662.
Ответ: 6057.
Баллы | Критерии оценивания |
---|---|
7 | Полное обоснованное решение. |
6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Наверх