РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 669 Добавить в вариант

Относительно квадратного трехчлена $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ известно, что он имеет два различных корня и удовлетворяет условию $f левая круглая скобка x в квадрате плюс y в квадрате правая круглая скобка больше или равно f левая круглая скобка 2xy правая круглая скобка$ для любых x и y. Возможно ли, чтобы хотя бы один из корней $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ является отрицательным?

Спрятать решение

Решение.

Решим задачу методом от противного. Предположим, что оба корня квадратного трехчлен а $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ неотрицательны. Возьмем $y=0$ и подставим в неравенство, следовательно, получим, что $f левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка больше или равно f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка$ для любого x.

Тогда $f левая круглая скобка t правая круглая скобка больше или равно f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка$ для любого $t больше или равно 0.$ Отметим, что из этого, в частности, следует, что ветви параболы направлены вверх. Так как абсцисса $t_0$ вершины параболы положительна, то с одной стороны для нее должно выполняться $f левая круглая скобка t_0 правая круглая скобка больше или равно f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка ,$ а с другой стороны $f левая круглая скобка t_0 правая круглая скобка меньше f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка .$ Пришли к противоречию.

Ответ: нет.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Баллы	Критерии оценивания
7	Полное обоснованное решение.
6	Обоснованное решение с несущественными недочетами.
5−6	Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений.
4	Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев.
2−3	Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи.
1	Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении.
0	Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Открытая олимпиада вузов Томской области, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Алгебра. Квадратный трёхчлен, т. Виета, Разное. Доказательство от противного

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь