РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 646 Добавить в вариант

Решите в целых числах уравнение: $x в квадрате минус xy минус 2y в квадрате =7.$

Спрятать решение

Решение.

Разложим левую часть уравнения, например, с помощью группировки, на множители:

$x в квадрате минус x y минус 2 y в квадрате =x в квадрате минус y в квадрате минус x y минус y в квадрате = левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка минус y левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка = левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 y правая круглая скобка .$ $x в квадрате минус x y минус 2 y в квадрате =x в квадрате минус y в квадрате минус x y минус y в квадрате =$
$= левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка минус y левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка = левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 y правая круглая скобка .$

Откуда получим следующий вид исходного уравнения: $левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 y правая круглая скобка =7.$ Учитывая, что x и y  — целые числа, а число 7  — простое число, решение уравнения сводится к решению четырех систем:

$система выражений x плюс y = 1 ,x минус 2 y = 7 , конец системы . \quad система выражений x плюс y = 7,x минус 2 y = 1 , конец системы . \quad система выражений x минус 2 y = 1 ,x минус 2 y = минус 7 , конец системы . \quad система выражений x плюс y= минус 7,x минус 2 y= минус 1. конец системы .$

Решая эти системы уравнений, получаем четыре пары решений: $левая круглая скобка 3 ; минус 2 правая круглая скобка , левая круглая скобка 5 ; 2 правая круглая скобка , левая круглая скобка минус 3; 2 правая круглая скобка , левая круглая скобка минус 5; минус 2 правая круглая скобка .$

Ответ: $левая фигурная скобка левая круглая скобка 3; минус 2 правая круглая скобка , левая круглая скобка 5; 2 правая круглая скобка , левая круглая скобка минус 3; 2 правая круглая скобка , левая круглая скобка минус 5; минус 2 правая круглая скобка правая фигурная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Баллы	Критерии оценивания
7	Полное обоснованное решение.
6	Обоснованное решение с несущественными недочетами.
5−6	Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений.
4	Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев.
2−3	Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи.
1	Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении.
0	Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Замечание. За каждое правильное решение, найденное подбором — 1 балл.

Открытая олимпиада вузов Томской области, 8 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Алгебра: числа. В целых числах нелинейные уравнения, Методы алгебры. Разложение на множители

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь