РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 640 Добавить в вариант

Найдите количество целых чисел, принадлежащих множеству значений функции:

$f левая круглая скобка x правая круглая скобка =2 косинус 2x плюс 2 косинус x минус 2019.$

Спрятать решение

Решение.

С помощью формулы $косинус 2 x=2 косинус в квадрате x минус 1$ преобразуем данную Функцию к виду

$f левая круглая скобка x правая круглая скобка =4 косинус в квадрате x плюс 2 косинус x минус 2021.$

Значения косинуса целиком заполняют промежуток [−1; 1], поэтому множество значений этой функции совпадает с множеством значений квадратичной функции $f левая круглая скобка t правая круглая скобка =4 t в квадрате плюс 2 t минус 2021$ при условии, что $t принадлежит левая квадратная скобка минус 1; 1 правая квадратная скобка .$ Наименьшее и наибольшее значение находим обоснованно любым способом (графически, через производную, выделением полного квадрата), в результате чего, имеем

$f_\text наим =f левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка = минус 2021,25,$ $\quad f_\text наиб f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка = минус 2015 .$

Таким образом, множество значений функции содержит семь целых чисел: −2021, −2020, −2019, −2018, −2017, −2016, −2015.

Ответ: 7.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Баллы	Критерии оценивания
7	Полное обоснованное решение.
6	Обоснованное решение с несущественными недочетами.
5−6	Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений.
4	Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев.
2−3	Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи.
1	Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении.
0	Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Открытая олимпиада вузов Томской области, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Задачи о тригонометрических функциях, Методы тригонометрии. Формулы двойных углов

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь