РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 576 Добавить в вариант

В угол вписано несколько окружностей, радиусы которых возрастают. Каждая следующая окружность касается предыдущей окружности. Найти сумму длин второй и третьей окружностей, если радиус первой равен 1, а площадь круга, ограниченного четвертой окружностью, равна $64 Пи .$

Спрятать решение

Решение.

Для радиусов $r_n$ и $r_n плюс 1$ предыдущей и следующей окружности выполнено соотношение (см. рис.)

$r_n плюс 1 минус r_n= левая круглая скобка r_n плюс 1 плюс r_n правая круглая скобка синус альфа \Rightarrow дробь: числитель: r_n плюс 1, знаменатель: r_n конец дроби = дробь: числитель: 1 плюс синус альфа , знаменатель: 1 минус синус альфа конец дроби =q ,$

т. е. радиусы $r_1, r_2, \ldots$ образуют геометрическую прогрессию, причем $r_1=1,$

$Пи r_4 в квадрате = Пи q в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка =64 Пи \Rightarrow q=2,$

отсюда получаем, что

$2 Пи r_2 плюс 2 Пи r_3=2 Пи левая круглая скобка r_1 q плюс r_1 q в квадрате правая круглая скобка =2 Пи левая круглая скобка 2 плюс 2 в квадрате правая круглая скобка =12 Пи .$

Ответ: $12 Пи .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Обоснованно получен верный ответ — 10 баллов. Доказано, что радиусы образуют геометрическую прогрессию, но получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки — 8 баллов; или решение в этом случае не завершено — 4 балла. Получен верный ответ с указанием, но без доказательства, что радиусы образуют геометрическую прогрессию — 2  балла. Верный ответ без обоснования или с неверным обоснованием — 0 баллов.

Открытая олимпиада вузов Томской области, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2018 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Окружности вписанные, Методы геометрии. Тригонометрия в геометрии

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь