На диаметре AB полуокружности взяты точки K и L, а на полуокружности — точки M, N и C так, что четырехугольник KLMN является квадратом, площадь которого равна площади треугольника ABС. Доказать, что центр вписанной в треугольник ABС окружности совпадает с точкой пересечения одной из сторон квадрата и одной из прямых, соединяющих вершину N или M с вершиной A или B.
Пусть a — сторона квадрата, R — радиус полуокружности с центром O, r — радиус вписанной в треугольник ABC окружности,
и 
Тогда
откуда 
Из равенства площадей квадрата и треугольника ABC получаем, что высота последнего равна 
Докажем, что ON биссектриса угла AOC. Действительно, так как 
(откуда следует, что 
то имеем
где 
Следовательно, 
и 
Поскольку вписанные углы ABN и CBN опираются на равные дуги, то BN — биссектриса угла ABC (равного α) и на ней лежит центр вписанной в прямоугольный треугольник ABC окружности, радиус которой равен
Но тогда точка P пересечения прямых BNLM является центром этой окружности, так как из подобных треугольников NKB и PLB имеем
что и требовалось доказать.