Всего: 433 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …
Добавить в вариант
Решить уравнение 
Переписав уравнение в следующем виде
и перемножив первую скобку с четвертой, вторую с третьей, получим
Сделав замену 
получим квадратное уравнение
решая которое, находим корни 
Уравнение
корней не имеет. Решая второе уравнение
находим корни 
Ответ: 
Обоснованно получен верный ответ — 8 баллов. Исходное уравнение верно сведено к квадратному уравнению, возможно, отличному от приведенного в решении, при решении которого получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки — 4 балла.
Найти количество целых значений, которые принимает функция 
Запишем функцию в виде
Обозначим 
тогда
на отрезке 
Отсюда, получаем, что
Таким образом, множеством значений искомой функции, является промежуток 
Этот промежуток содержит 25 целых значений.
Ответ: 25.
Обоснованно получен верный ответ — 8 баллов. Решение сведено к нахождению множества значений функции 
на отрезке 
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки — 5 баллов. Решение сведено к нахождению множества значений функции на отрезке 
но решение не завершено — 2−3 балла.
Решите уравнение:
I способ Метод мажорант. Преобразуем исходное выражение:
Так как каждая дробь в левой части уравнения не превосходит единицы, а таких дробей всего 1009, то уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда каждая дробь обращается в единицу. Следовательно,
II способ. Замена переменной. Пусть 
тогда
Так как выражение в квадратных скобках положительно, то
Ответ: −1.
Обоснованно получен верный ответ — 10 баллов. Решение в целом верное, но имеются небольшие недочеты непринципиального характера — 7−8 баллов. Получены некоторые вспомогательные утверждения, обеспечивающие продвижение в решении в верном направлении — 3−4 балла. Ответ получен подбором, но при этом выполнена проверка — 1 балл.
Найдите 
если 
Напомним, что 
а 
Воспользуемся следующими формулами:
Введём обозначения: 
и 
Тогда
Составим квадратное уравнение 
и решим его относительное 
При 
получаем 
и 
В ответе получаем обратные к t величины. Осталось убедиться, что для каждого из полученных значений найдётся x, при котором это значение достигается при
Действительно, 
поэтому для любого значения 
найдётся подходящий x. Далее, A выражается через t с точностью до знака, при этом оба возможных значения A достигаются при данном для того, чтобы поменять знак A, достаточно увеличить или уменьшить x на π.
Ответ: −6 или 8.
Только ответ — 0 баллов.
В решении не показано, что оба значения достигаются — снимать 1 балл.
Потерян один из ответов — снимать 1 балл.
За арифметические ошибки, несущественно влияющие на ход решения, снимать 0,5 балла за одну ошибку, снимать 1 балл за две ошибки или более.
Решите систему уравнений:
Введем замену переменной 
Тогда система примет вид
Преобразуем систему к виду:
Сделаем замену переменных 
Тогда система примет вид:
Перемножим уравнения системы и получим 
откуда получаем, что 
Используя последнее равенство, получим, что система в итоге имеет два решения:
Тогда
Следовательно,
В итоге получаем два решения системы
Ответ:
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Замечание. За каждое правильное решение, найденное подбором — 1 6алл.
Решите систему уравнений:
Аналогичное решение этой задачи присутствует в варианте 1 под номером 627.
Ответ:
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Замечание. За каждое правильное решение, найденное подбором — 1 балл.
Найти x и y, которые удовлетворяют следующему уравнению:
Пусть
Тогда 
и исходное уравнение примет вид
Рассматривая последнее уравнение как квадратное относительно v, и учитывая не отрицательность дискриминанта, 
Тогда 
Ответ: 
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Решите уравнение 
Пусть 
тогда исходное уравнение перепишется в виде 
Следовательно, 
или 
Покажем, что других корней нет:
1) если предположить, что 
то 
и 
2) если предположить, что 
то 
и 
И в 1) и 2) случаях уравнение не станет тождеством. Если 
то 
если 
то 
или 
Ответ: 
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Найдите, чему может быть равно x + y, если известно, что 
и 
Обозначим 
и 
Тогда исходные уравнения превратятся в 
и 
Сложив эти уравнения, получаем
Вторая скобка всегда положительна, значит, первая равна нулю, откуда 
Ответ: 4.
Найдите, чему может быть равно x + y, если известно, что 
и 
Обозначим 
и 
Тогда исходные уравнения превратятся в 
и 
Сложив эти уравнения, получаем
Вторая скобка всегда положительна, значит, первая равна нулю, откуда 
Ответ: −4.
Докажите, что для положительных x, y, z выполняется следующее неравенство:
Рассмотрим первые две скобки и заметим, что
Тогда мы можем переписать требуемое неравенство в виде
Теперь зафиксируем z и 
и будем сдвигать 
и y друг к другу. При этом 
увеличивается, и достигает максимума 
т. е.
Обозначим 
тогда неравенство превращается в
Взяв производную, можно убедиться, что минимум левой части достигается при 
и равен 0 , что доказывает требуемое неравенство. Таким образом, минимум исходного выражения достигается при 
Решите неравенство
Так ОДЗ логарифмов неравенства определяется условиями
В итоге получаем 
и 
Обозначим 
и 
Записываем и преобразуем неравенство:
Для решения этого неравенства далее применяем метод рационализации: знак разности 
на области допустимых значений совпадает со знаком выражения 
в частности (при 
знак логарифма 
совпадает со знаком 
Подставляем сюда выражения для u, v, w и решаем получающееся неравенство: u, v, w и решаем получающееся неравенство:
С учётом ОДЗ остаётся
Ответ: 
Нахождение ОДЗ отдельно не оценивается. За любое неэквивалентное на ОДЗ преобразование — 0 баллов за задачу.
Неравенство преобразовано к виду 
— 2 балла.
Неравенство сведено к рациональному или системе рациональных неравенств — 1 балл.
Ответ отличается от верного конечным количеством точек — снять по 1 баллу за каждую лишнюю/недостающую точку, но не более 3 баллов.
Ответ отличается от верного более чем на коечное число точек — не более 3 баллов за задачу.
Решите неравенство
Так ОДЗ логарифмов неравенства определяется условиями
В итоге получаем 
и 
Обозначим 
и 
Записываем и преобразуем неравенство:
Для решения этого неравенства далее применяем метод рационализации: знак разности 
на области допустимых значений совпадает со знаком 
знак логарифма совпадает со знаком
Подставляем сюда выражения для u, v, w и решаем получающееся неравенство:
С учётом ОДЗ остаётся 
Ответ: 
Нахождение ОДЗ отдельно не оценивается. За любое неэквивалентное на ОДЗ преобразование — 0 баллов за задачу.
Неравенство преобразовано к виду — 2 балла.
Неравенство сведено к рациональному или системе рациональных неравенств — 1 балл.
Ответ отличается от верного конечным количеством точек — снять по 1 баллу за каждую лишнюю/недостающую точку, но не более 3 баллов.
Ответ отличается от верного более чем на коечное число точек — не более 3 баллов за задачу.
Докажите, что для положительных x, y, z выполняется следующее неравенство:
Рассмотрим первые две скобки и заметим, что
Тогда мы можем переписать требуемое неравенство в виде
Теперь зафиксируем z и 
и будем сдвигать x и 
друг к другу. При этом увеличивается, и достигает максимума при 
остальные части выражения остаются постоянными. Значит, требуемое равенство будет следовать из неравенства, полученного подстановкой в него 
т. е.
Обозначим 
тогда неравенство превращается в
Взяв производную, можно убедиться, что минимум левой части достигается при 
и равен 0, что доказывает требуемое неравенство. Таким образом, минимум и сходного выражения достигается при 
Решите систему уравнений
Переписываем систему в виде
после чего вводим новые переменные: 
и 
Система принимает вид
Из первого уравнения 
Подставляя это во второе уравнение, получаем
откуда следует, что 
(и тогда 
или 
(и тогда 
Если и 
то
Отсюда получаем, что либо 
и 
либо 
и 
Если и 
то
Отсюда получаем, что либо и 
либо 
и 
Ответ: 
Выполнена замена переменных (как в решении или аналогичной ей) — 1 балл.
Система уравнений решена относительно новый переменных — 1 балл.
За рассмотрение каждого из двух вариантов значений (u, v) — по 1 баллу.
Дана функция 
а) Решите уравнение 
б) Найдите число решений уравнения 
лежащих на отрезке 
в зависимости от действительного параметра a.
в) Найдите множество значений функции f.
а) Перепишем уравнение в виде 
и обозначим 
Получим 
или 
получим или 
Вернёмся к замене переменной
б) Найдите число решений уравнения лежащих на отрезке в зависимости от действительного параметра a.
Перепишем уравнение в виде 
и обозначим Ясно, что при 
получим 
причем каждому такому t соответствует ровно одно x и наоборот. Значит, нужно исследовать вопрос о количестве решений уравнения
на отрезке 
Построим график функции 
Это будет парабола с ветвями, направленными вниз и вершиной при
причем 
Далее, 
Проводя горизонтальную прямую 
и изучая количество общих точек этой прямой и параболы при получаем ответ.
в) Найдите множество значений функции f.
Ясно, что 
принимает все значения из промежутка 
и только их. Если разрешить 
то наибольшее значение функции 
по-прежнему будет при 
а наименьшее - в одном из концов отрезка, то есть либо 
либо 
Поэтому ответ 
Ответ:
а) 
б) решений нет при 
и 
одно решение при 
два решения при 
в) 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а)
б) решений нет при и одно решение при два решения при
в)
Решите неравенства:
а) 
б) 
в) Докажите, что уравнение 
имеет решения при любых целых k.
а) Сделав замену
получим неравенство 
которое можно решить стандартным методом, однако с некоторой целью построим график функции, заданной формулой 
(см. рисунок). Ясно, что неравенство 
выполняется при 
значит, 
Ответ: 
б) Замена 
приводит к неравенству 
или 
где 
(см. пункт а)). Из графика функции f (см. рисунок) получаем, что 
или 
или 
откуда и следует ответ.
Ответ: 
в) Аналогично предыдущим пунктам, сделав замену 
получим уравнение 
или 
Множеством значений 
при 
является объединение лучей 
(см. рис.), которое содержит все целые числа.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) Замена приводит к неравенству или где (см. пункт а)). Из графика функции f (см. рисунок) получаем, что или или откуда и следует ответ.
Решите неравенства:
а) 
б) 
в) Найдите все такие целые k, что уравнение 
не имеет решений.
а) Неравенство определено при 
и при таких x можно домножить его на 
и возвести потом в квадрат (обе части будут неотрицательны)
Корнями уравнения 
будут 
поэтому множеством решения неравенства будут 
Ясно, что 
поэтому учитывая условие 
получим окончательный ответ 
Ответ: 
б) Найдем область определения неравенства. Требуется выполнение следующих условий: 
и 
Последнее условие дает 
и 
Вместе с первыми получим область определения 
Теперь преобразуем неравенство и сделаем замену 
тогда 
и
Неравенство примет вид
С помощью метода интервалов получим ответ 
Отсюда 
где 
Поскольку все такие x входят в ОДЗ неравенства, это и есть окончательный ответ.
Ответ: 
в) Преобразуем уравнение
Обозначим 
тогда уравнение примет вид 
и нам нужно, чтобы это уравнение не имело корней на промежутке 
Для этого достаточно, чтобы были положительны значения в концах этого отрезка и при 
если 
то есть при 
Подставляя 
получим 
т. е. 
где 
Подставляя 
получим 
т. е. 
где 
Подставляя 
получим
Первым двум условиям удовлетворяют 
При этом для 
этих условий достаточно. Для прочих k еще нужно выполнение условий 
поэтому 
не подходит. Окончательно 
Ответ: 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Даны многочлены 
и 
a) Докажите, что многочлен 
делится на 
б) Найдите все 
отличные от 
при которых многочлен 
имеет действительные корни.
в) Докажите, что при всех натуральных 
многочлен 
делится на
a) Решим задачу двумя способами.
Ⅰ способ. Ясно, что 
Ясно также, что если имеет место разложение 
то 
и 
Преобразование
показывает, что многочлен p3(x) действительно делится на q(x), а частное равно 
Теперь уже нетрудно догадаться, что
и затем проверить это тождество, например по индукции.
Ⅱ способ.. Трехчлен q(x) имеет комплексные корни 
Многочлен pn(x) делится на q(x), если числа z1, 2 являются также и его корнями. Преобразование:
показывает, что это действительно так. Обозначим 
тогда
в чем можно убедиться, раскрыв скобки (на самом деле второй множитель подбирался так — ясно, что он тоже второй степени и начинается с 
чтобы дать 
а его свободный член равен 
чтобы сходился свободный член произведения. Наконец средний коэффициент противоположен к 
чтобы коэффициент при 
оказался бы нулем).
б) Вероятно в условии опечатка, нужно про
Дискриминант равен 
при всех 
Поэтому вещественных корней это уравнение не имеет 
в) Докажите, что при всех натуральных многочлен делится на
Разберем сразу случай 
Тогда нужно доказать, что многочлен 
делится на какой-то квадратный трехчлен, что очевидно. В остальных случаях 
Найдем комплексные корни Это будут
Обозначим 
тогда 
Убедимся, что эти числа являются корнями многочлена — делится на Более того, поскольку имеет вещественные коэффициенты, достаточно проверить, что его корнем будет z - тогда 
тоже будет корнем. Подставляя 
получим
Утверждение доказано.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Найдите наименьшее положительное решение уравнения 
б) Найдите число решений уравнения 
в) Докажите, что уравнение 
имеет ровно два решения.
г) Найдите наибольшее по абсолютной величине значение выражения 
при 
а) Замена 
приводит к уравнению 
откуда 
Корнями последнего уравнения являются числа 2 и 
Поскольку функция 
возрастающая, а 
то отсюда и следует ответ.
Ответ: 
б) Два решения при 
одно — при 
(см. рис.).
в) Так как
то графики правой и левой частей данного уравнения выглядят так, как показано на рисунке. Строгое доказательство приведено в Дополнении.
Ответ: два корня.
г) Если 
тогда 
отсюда
Ответ: 576.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
два корня. 576.Наверх