Всего: 433 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 …
Добавить в вариант
а) Найдите наименьшее положительное решение уравнения 
б) Найдите число решений уравнения 
в) Докажите, что уравнение 
имеет ровно два решения.
г) Докажите, что выражение 
принимает любое действительное значение тогда и только тогда, когда только одно из чисел a, b лежит между c и d.
а) Обозначим 
тогда
и 
Уравнение примет вид
У многочлена в левой части есть корень 
поэтому многочлен в левой части раскладывается на множители, один из которых равен 
Выделим его 
Значит, либо 
либо 
Ясно, что каждое свое положительное значение 
впервые при положительном x принимает на 
— возрастающая функция). Докажем, что
что очевидно, на самом деле 
Значит, наименьший положительный корень уравнения 
Ответ: 
б) Запишем уравнение в виде 
и изобразим графики обеих частей.
Правая часть дает график, похожий на 
только отраженный относительно вертикальной оси, сдвинутый вправо на 5 и вниз на −2.
Левая часть дает прямую, проходящую через начало координат. При 
очевидно есть одна общая точка, как и при 
При 
уменьшение a поворачивает прямую вокруг начала координат. При 
будет два корня — один при отрицательных x, второй при положительных.
При дальнейшем уменьшении a отрицательный корень будет всегда, а положительный исчезнет после того, как прямая пройдет через начальную точку графика 
и 
Это случится когда 
или 
Итак, получаем ответ. При 
—
Ответ: два решения при 
одно — при 
в) Перепишем уравнение в виде 
Заметим, что при 
левая часть равна
при 
левая часть равна
при 
левая часть равна 
Отсюда по непрерывности 
и 
есть корни. Итак, корней не менее двух.
Докажем, что корней не больше двух. Как известно, между двумя корнями непрерывно дифференцируемой функции всегда есть корень ее производной (это следствие теоремы Ролля), поэтому если корней больше двух, то у производной больше одного корня. Но производная равна
Итак, требуется найти условие, при котором для любого числа α существует решение квадратного уравнения
или
(случай 
следует рассмотреть отдельно). Преобразуем дискриминант этого квадратного уравнения:
Положим для краткости
и
Тогда
и 
Квадратное уравнение (относительно x) имеет решение тогда и только тогда, когда при всех α верно неравенство 
для чего необходимо и достаточно, чтобы дискриминант квадратичного относительно α выражения 
был не положителен. Проделанные вычисления показывают, что последний дискриминант равен
Для завершения доказательства осталось проверить, что неравенство
имеет место, когда одно из чисел a, b лежит между c и d.
г) Будем считать, что 
По условию, уравнение 
должно быть разрешимо для любого k. Преобразуем это уравнение 
получим 
При 
уравнение сводится к 
то есть к 
Это уравнение имеет корни всегда, кроме возможно случая, когда 
что невозможно, если ровно одно из чисел a и b лежит между c и d (например, если 
то 
аналогично разбираются и другие варианты), а мы ниже установим, что это условие выполнено.
При прочих k получаем квадратное уравнение
Его дискриминант должен быть неотрицателен. Вычислим его:
Для того, чтобы это выражение было всегда неотрицательно (теоретически кроме 
но если квадратный трехчлен неотрицателен везде, кроме одной точки, то он неотрицателен и в ней), необходимо и достаточно чтобы старший коэффициент этого квадратного трехчлена от k был положителен (это так) и его дискриминант был не положителен. Вычислим его:
Равенство нулю невозможно, поскольку a, b, c, d различны. Значит, на самом деле это выражение меньше нуля, откуда 
и 
имеют различные знаки. Но выражение 
отрицательно при 
и отрицательно при 
и 
значит, одно из чисел a и b лежит между c и d, а другое не лежит.
Обратно. Пусть числа расположены именно так. Тогда 
поэтому дискриминант трехчлена
не положителен, поэтому его значения всегда неотрицательны и трехчлен
всегда имеет корни, кроме того при уравнение 
разрешимо. Значит, функция действительно принимает все значения.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
два решения при одно — при а) Решите уравнение 
б) Числа 
выбираются случайным образом. Найдите вероятность того, что многочлен 
имеет действительные корни.
в) Докажите, что если не существует треугольника с длинами сторон a, b, c, то нет и треугольника со сторонами
г) Докажите, что треугольник ABC является прямоугольным тогда и только тогда, когда 
а) Положим 
Относительно новой переменной имеем уравнение 
и только они, 
Ответ: 
б) Данное уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда 
По определению геометрической вероятности, искомая вероятность равна отношению площади множества точек единичного квадрата, координаты которых удовлетворяют неравенству, т. е. площади подграфика функции 
к площади самого этого квадрата. Таким образом, эта вероятность равна интегралу 
в) Если треугольник с длинами сторон a, b, c не существует, то одно из этих чисел не меньше суммы двух других. Пусть 
тогда
г) Прежде всего запишем данное условие в виде
Преобразуем далее:
откуда и следует, что один из углов треугольника — прямой.| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Решите уравнение 
б) Числа 
выбираются случайным образом. Найдите вероятность того, что многочлен 
имеет действительные корни.
в) Докажите, что если a, b, c — длины сторон некоторого треугольника, то из отрезков длиной 
также можно составить треугольник.
г) Дан треугольник ABC. Докажите, что если 
то он либо равнобедренный, либо прямоугольный.
а)Обозначим 
тогда 
и уравнение примет вид
Иными словами, сумма расстояний от точки t до точек 1 и 3 на вещественной прямой равно 2, то есть расстоянию между точками 1 и 3, поэтому подходят все точки отрезка 
Ответ:
б) Можно считать, что 
(поскольку вероятность события 
равна нулю). Тогда необходимо и достаточно выполнения условия 
то есть 
Рассмотрим на координатной плоскость с координатами 
график функции 
и вычислим площадь заштрихованной части (см рисунок)
При этом площадь всей области, откуда выбираются p и q, равна 4. Поэтому искомая вероятность равна
Ответ: 
в) Докажите, что если a, b, c — длины сторон некоторого треугольника, то из отрезков длиной также можно составить треугольник.
Пусть c — самая большая сторона. По неравенству треугольника 
Проверим для самой большой из сторон 
неравенство треугольника 
Докажем последнее неравенство. Возводя его в n — ую степень, получим 
что очевидно — раскрывая скобки в правой части по формуле бинома Ньютона, получим 
где все не выписанные слагаемые положительны.
г) Преобразуем равенство
Поделим на 
получим
Поскольку A и B углы треугольника, 
Более того, если 
то 
а 
и равенство невозможно. Итак, 
Аналогично 
Тогда либо 
где 
и треугольник является равнобедренным; либо 
где 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Найдите все целые k, при которых разрешимо уравнение
б) Найдите все целые решения уравнения 
в) Найдите все натуральные решения уравнения
а) Не следует пугаться присутствующих в условии обратных тригонометрических функций. Поскольку 
то после замены 
получим уравнение 
Полученное уравнение разрешимо, если число 
входит в множество значений функции 
Для его нахождения можно стандартным образом исследовать функцию при помощи производной, а можно воспользоваться оценками
(заметим, что эти неравенства обращаются в равенства, соответственно, при 
или 
и 
). Следовательно, множеством значений функции f является отрезок 
Значит, решение исходного уравнения существует тогда и только тогда, когда 
откуда и получаем ответ.
Ответ: 
б) Из равенства 
получаем, что 
откуда следует, что число 
должно быть полным квадратом, 
Аналогично, 
причем 
Ответ: 
в) Докажите вначале следующее утверждение.
Лемма. Если 
и 
то 
Ответ: 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Решите неравенство 
б) Решите уравнение 
в) Внутри угла величиной 
с вершиной в точке A на расстоянии 4 от нее расположена точка M. Найдите расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из точки M на стороны этого угла.
г) Сколько сторон имеет сечение куба 
плоскостью, проходящей через точки 
и 
которые делят эти отрезки в, соответственно, отношениях 
и 
(считая от вершины, указанной первой)?
а) После стандартных преобразований получим неравенство
Ответ: 
б) При 
получаем уравнение 
т. е. 
При имеем 
т. е. 
Вообще, 
есть решение только при 
Поэтому в дальнейшем будем считать, что 
После 
откуда 
Случай уже исследован, так что 
Из условий 
получаем, что 
Таким образом, 
при 
Ответ: 
при 
при 
при 
при
в) Имеем: 
так что 
Ответ: 
г) Если расположить начало системы координат в вершине C куба, а ее оси направить по его ребрам, то из условий на точки K, L, M следует, что их координаты равны 
Для определения коэффициентов уравнения 
плоскости 
получаем систему
откуда 
и 
Найдем координаты точки P пересечения прямой 
и плоскости KLM: 
так 
Ответ: Пять сторон.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
при при при при Пять сторон.а) Решите неравенство 
б) Решите уравнение 
в) На сторонах угла величиной 
с вершиной в точке A на расстоянии 4 друг от друга лежат точки K и L. Пусть M — точка пересечения восстановленных в точках K и L перпендикуляров к соответствующим сторонам угла. Найдите расстояние от M до A.
г) Сколько сторон имеет сечение куба плоскостью, проходящей через точки 
и 
которые делят эти отрезки в, соответственно, отношениях 
и 
(считая от вершины, указанной первой)?
а) Решите неравенство
Ясно что 
и не подходят в неравенство. При прочих x можно домножить неравенство на 
и получить
У многочлена в левой части есть корень поэтому многочлен в левой части раскладывается на множители, один из которых равен Выделим его
У второго множителя левой части есть корень 
поэтому он раскладывается на множители, один из которых равен 
Выделим его
Дискриминант последнего множителя равен 
поэтому он всегда положителен. Сократив его, получим 
откуда 
или 
Окончательно, учитывая условия 
и 
получаем 
Ответ: 
б) Решите уравнение
Обозначим 
Тогда 
и уравнение примет вид
Если 
то 
и при этом условии можем возвести в квадрат, получим
При подходит любое 
При прочих a можно сократить на 
получим
заметим корень с другим знаком все равно не подходит. Очевидно 
поэтому такой корень подходит.
Если 
то 
и при этом условии можем возвести в квадрат, отсюда
Можно сократить на 
тогда 
При 
это невозможно (правая часть неположительная, а левая положительна). При 
получим
заметим корень с другим знаком все равно не подходит. Очевидно 
при условии 
то есть 
Итак, такой корень подходит при 
при прочих отрицательных a нет корней.
Наконец при уравнение сводится к 
то есть
Теперь можно записать ответ, дорешав уравнения 
в случаях 
Во всех случаях 
при нет корней; при 
и 
при 
при 
нет корней; при 
при 
и 
при 
Ответ: 
при 
при 
при 
при 
в) На сторонах угла величиной с вершиной в точке A на расстоянии 4 друг от друга лежат точки K и L. Пусть M — точка пересечения восстановленных в точках K и L перпендикуляров к соответствующим сторонам угла. Найдите расстояние от M до A.
Обозначим 
тогда
Тогда по теореме синусов для треугольника KAL получаем 
откуда 
Аналогично по теореме синусов для треугольника MKL получаем 
Тогда по теореме Пифагора получаем
Ответ: 
г) Сколько сторон имеет сечение куба плоскостью, проходящей через точки и которые делят эти отрезки в, соответственно, отношениях и (считая от вершины, указанной первой)?
Обозначим ребро куба за 
тогда 
и 
Отметим кроме того точку 
для которой 
Тогда 
и 
- параллелограмм (его стороны 
и AK равны и параллельны), поэтому 
и 
Далее, 
и 
поэтому 
—
и 
Из этого получаем, что 
и 
поэтому точки K, L, M, D лежат в одной плоскости (и образуют там вершины параллелограмма). Этот параллелограмм и будет сечением куба, поэтому сечение имеет 4 стороны.
(не сошлось с ответом!)
Ответ: Пять сторон.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
при при при при Пять сторон.Решите систему уравнений
Переписываем систему в виде
после чего вводим новые переменные: 
и 
Система принимает вид
Из первого уравнения 
Подставляя это во второе уравнение, получаем
откуда следует, что 
(и тогда 
или 
(и тогда 
Если и 
то
Отсюда получаем, что либо 
и 
либо 
и 
Если и 
то
Отсюда получаем, что либо и 
либо 
и 
Ответ: 
Выполнена замена переменных (как в решении или аналогичной ей) — 1 балл.
Система уравнений решена относительно новый переменных — 1 балл.
За рассмотрение каждого из двух вариантов значений (u, v) — по 1 баллу.
Решите неравенство
Заметим, что второе подкоренное выражение может быть записано в виде 
Неравенство принимает вид
Обозначим 
Тогда получаем
Возвращаясь обратно к переменной x, получаем совокупность
Ответ: 
Под втором корнем выделен полный квадрат. Корень заменен на модуль — 2 балла.
За разбор каждого из двух случаев раскрытия модуля — 2 балла.
Если при этом совершенно неэквивалентное преобразование неравенства — 0 баллов за случай.
Потерян при извлечении корня, но полученное иррациональное неравенство решено верно — 2 балла за задачу.
Решите неравенство
Заметим, что второе подкоренное выражение может быть записано в виде 
Неравенство принимает вид
Обозначим 
Тогда получаем
Возвращаясь обратно к переменной x, получаем совокупность
Ответ: 
Под втором корнем выделен полный квадрат. Корень заменен на модуль — 2 балла.
За разбор каждого из двух случаев раскрытия модуля — 2 балла.
Если при этом совершенно неэквивалентное преобразование неравенства — 0 баллов за случай.
Потерян при извлечении корня, но полученное иррациональное неравенство решено верно — 2 балла за задачу.
Решите неравенство
Данное неравенство равносильно неравенству
Обозначим здесь 
и 
(заметим, что 
так как v — квадратный трёхчлен с отрицательным дискриминантом). Тогда неравенство принимает вид
Раскладывая левую часть на множители (например, рассмотрев как квадратичную функцию относительно u и найдя корни), получаем 
Первый множитель положителен, поэтому 
Возвращаемся к переменной x:
Второй множитель положителен, поэтому остаётся 
откуда 
Ответ: 
Левая часть неравенства разложена на два множителя — 3 6алла.
Задача сведена к квадратному неравенству с модулем — 1 балл.
Решено это неравенство — 3 балла.
Решите неравенство
Данное неравенство равносильно неравенству
Обозначим здесь 
(заметим, что 
так как v — квадратный трёхчлен с отрицательным дискриминантом). Тогда неравенство принимает вид 
Раскладывая левую часть на множители (например, рассмотрев как квадратичную функцию относительно u и найдя корни), получаем 
Первый множитель положителен, поэтому 
Возвращаемся к переменной x:
Второй множитель положителен, поэтому остаётся 
откуда 
или 
Ответ: 
Левая часть неравенства разложена на два множителя — 3 6алла.
Задача сведена к квадратному неравенству с модулем — 1 балл.
Решено это неравенство — 3 балла.
Преобразуем левую часть неравенства:
Обозначим 
Тогда
и неравенство принимает вид 
Одним из корней многочлена в левой части является 
Выделив множитель 
получаем
откуда 
(так как то второй множитель положителен). Находим x:
Ответ: 
Получено неравенство относительно 
(или 
и т. д.) — 2 балла.
То же без упрощения правой/левой части — 1 балл.
Получено решение этого неравенства относительно t — 2 балла.
Совершён возврат к переменной x — 2 балла.
Неэквивалентное преобразование неравенства — 0 баллов за задачу.
Решите неравенство
Преобразуем левую часть неравенства:
Обозначим 
Тогда
и неравенство принимает вид
Одним из корней многочлена в левой части является 
Выделив множитель 
получаем
откуда 
(так как то второй множитель положителен). Находим x:
Ответ: 
Получено неравенство относительно (или и т. д.) — 2 балла.
То же без упрощения правой/левой части — 1 балл.
Получено решение этого неравенства относительно t — 2 балла.
Совершён возврат к переменной x — 2 балла.
Неэквивалентное преобразование неравенства — 0 баллов за задачу.
Решите систему уравнений
Обозначим 
Тогда система принимает вид
Из второго уравнения последней системы следует, что 
Подбирая целый корень 
и выделяя множитель 
в левой части последнего уравнения, получаем
откуда или 
Значение 
не подходит. При получаем 
Тогда
Ответ: 
Сделана замена переменных (как в решении) — 1 баллы.
Получено кубическое уравнение относительно одной из новых переменных — 1 балл.
Решено кубическое уравнение — 2 балла.
Получены посторонние решения — снять 1 балл.
Решите систему уравнений
Обозначим 
Тогда система принимает вид
Из второго уравнения последней системы следует, что 
Подбирая целый корень 
и выделя множитель 
в левой части последнего уравнения, получаем
откуда 
или 
Значение 
не подходит. При получаем 
Тогда
При 
получаем 
Тогда
Ответ: 
Сделана замена переменных (как в решении) — 1 баллы.
Получено кубическое уравнение относительно одной из новых переменных — 1 балл.
Решено кубическое уравнение — 2 балла.
Получены посторонние решения — снять 1 балл.
Найдите все пары положительных чисел (x, y), удовлетворяющих системе уравнений
Обозначим 
(при этом 
Тогда
так как по условию x и y положительны. Система принимает вид
Из первого уравнения следует, что 
или 
Если 
то 
откуда 
тогда 
Если 
то 
откуда 
тогда
Ответ: 
Первое уравнение разложено на множители — 2 балла.
За каждый из двух полученных случаев — 2 балла.
Найдите все пары положительных чисел (x, y), удовлетворяющих системе уравнений
Обозначим 
(при этом 
Тогда
так как по условию x и y положительны. Система принимает вид
Из первого уравнения следует, что 
или 
Если 
то 
откуда 
тогда
Если 
то 
откуда 
тогда 
и 
Ответ: 
Первое уравнение разложено на множители — 2 балла.
За каждый из двух полученных случаев — 2 балла.
Решите неравенство 
Заметим, что выражение под модулем неотрицательно на ОДЗ (это квадратный трёхчлен относительно 
и 
Значит, модуль можно опустить. Перепишем неравенство в виде
Обозначая 
получаем 
откуда 
Если 
то
Если 
то
Значит, 
Ответ: 
Обоснованно раскрыт модуль — 1 балл.
При решении с помощью замены:
а) сделана замена 
и неравенство приведено к неравенству относительно t — 1 балл;
б) решено квадратное неравенство относительно t — 1 балл;
в) за каждый из двух рассмотренных промежутков для t — по 1 баллу.
При другом способе решения:
а) неравенство приведено к виду 
— 2 балла;
б) в ответ включены отрицательные значения x — не более 3 баллов за задачу.
Решите неравенство 
Заметим, что выражение под модулем неотрицательно на ОДЗ (это квадратный трёхчлен относительно и Значит, модуль можно опустить. Перепишем неравенство в виде
Обозначая 
получаем 
откуда 
Если
то 
Если 
то
Значит, 
Ответ: 
Обоснованно раскрыт модуль — 1 балл.
При решении с помощью замены:
а) сделана замена и неравенство приведено к неравенству относительно t — 1 балл;
б) решено квадратное неравенство относительно t — 1 балл;
в) за каждый из двух рассмотренных промежутков для t — по 1 баллу.
При другом способе решения:
а) неравенство приведено к виду — 2 балла;
б) в ответ включены отрицательные значения x — не более 3 баллов за задачу.
Решите систему уравнений
Обозначим Тогда система принимает вид
Из второго уравнения последней системы следует, что Подбирая целый корень и выделяя множитель в левой части последнего уравнения, получаем откуда или Значение не подходит. При получаем 
Тогда
Ответ: 
Сделана замена переменных (как в решении) — 1 балл.
Получено кубическое уравнение относительно одной из новых переменных — 1 балл.
Решено кубическое уравнение — 2 балла.
Получены посторонние решения — снять 1 балл.
Наверх