РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1331 Добавить в вариант

Решите неравенство

$логарифм по основанию 5 250 плюс левая круглая скобка 4 минус логарифм по основанию 5 в квадрате 2 правая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 50 правая круглая скобка 5 \leqslant125 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 5 в квадрате x правая круглая скобка минус 24 умножить на x в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 5 x правая круглая скобка .$

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем левую часть неравенства:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка 250 плюс левая круглая скобка 4 минус логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка в квадрате 2 правая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 50 правая круглая скобка 5=3 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка 2 плюс дробь: числитель: левая круглая скобка 2 минус логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка 2 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка 50 конец дроби =$
$=3 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка 2 плюс дробь: числитель: левая круглая скобка 2 минус логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка 2 правая круглая скобка , знаменатель: 2 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка 2 конец дроби =5 \text .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка 250 плюс левая круглая скобка 4 минус логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка в квадрате 2 правая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 50 правая круглая скобка 5=$
$=3 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка 2 плюс дробь: числитель: левая круглая скобка 2 минус логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка 2 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка 50 конец дроби =$
$=3 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка 2 плюс дробь: числитель: левая круглая скобка 2 минус логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка 2 правая круглая скобка , знаменатель: 2 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка 2 конец дроби =5 \text .$

Обозначим $5 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка в квадрате x правая круглая скобка =v .$ Тогда

$x в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка 5 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка x правая круглая скобка =v$

и неравенство принимает вид

$5 меньше или равно v в кубе минус 24 v равносильно v в кубе минус 24 v минус 5 больше или равно 0 .$

Одним из корней многочлена в левой части является $v=5.$ Выделив множитель $v минус 5,$ получаем

$левая круглая скобка v минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка v в квадрате плюс 5 v плюс 1 правая круглая скобка больше или равно 0,$

откуда $v больше или равно 5$ (так как $v больше 0,$ то второй множитель положителен). Находим x:

$5 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка в квадрате x правая круглая скобка больше или равно 5 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка в квадрате x больше или равно 1 равносильно совокупность выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка x больше или равно 1, логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка x \leqslant минус 1 конец совокупности . равносильно x принадлежит левая круглая скобка 0 ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 5 ; плюс бесконечность правая круглая скобка ..$

Ответ: $x принадлежит левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 5; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Получено неравенство относительно $t= логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка x$ (или $t= логарифм по основанию левая круглая скобка x правая круглая скобка 3$ и т. д.) — 2 балла.

То же без упрощения правой/левой части — 1 балл.

Получено решение этого неравенства относительно t — 2 балла.

Совершён возврат к переменной x — 2 балла.

Неэквивалентное преобразование неравенства — 0 баллов за задачу.

Аналоги к заданию № 1324: 1331 Все

Олимпиада школьников Физтех, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Неравенства логарифмические, Методы алгебры. Замена переменной, Методы алгебры. Разложение на множители

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь