сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

а)  Най­ди­те все целые k, при ко­то­рых раз­ре­ши­мо урав­не­ние

 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: арк­си­нус x конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: арк­ко­си­нус x конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: \tfrac k10 конец ар­гу­мен­та .

б)  Най­ди­те все целые ре­ше­ния урав­не­ния  ко­рень из x плюс ко­рень из y = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1998 конец ар­гу­мен­та .

в)  Най­ди­те все на­ту­раль­ные ре­ше­ния урав­не­ния

 ко­рень из x плюс ко­рень из y плюс ко­рень из z = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1998 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Не сле­ду­ет пу­гать­ся при­сут­ству­ю­щих в усло­вии об­рат­ных три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций. По­сколь­ку  арк­си­нус x плюс арк­ко­си­нус x= дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i2, то после за­ме­ны t= арк­си­нус x по­лу­чим урав­не­ние  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i2 минус t конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: k, зна­ме­на­тель: конец дроби 10 конец ар­гу­мен­та , t при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . По­лу­чен­ное урав­не­ние раз­ре­ши­мо, если число  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: k, зна­ме­на­тель: конец дроби 10 конец ар­гу­мен­та вхо­дит в мно­же­ство зна­че­ний функ­ции f левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i2 минус t конец ар­гу­мен­та . Для его на­хож­де­ния можно стан­дарт­ным об­ра­зом ис­сле­до­вать функ­цию при по­мо­щи про­из­вод­ной, а можно вос­поль­зо­вать­ся оцен­ка­ми

 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a плюс b конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 левая круг­лая скоб­ка a плюс b пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та , a, b\geqslant0

(за­ме­тим, что эти не­ра­вен­ства об­ра­ща­ют­ся в ра­вен­ства, со­от­вет­ствен­но, при a=0 или b=0 и a=b). Сле­до­ва­тель­но, мно­же­ством зна­че­ний функ­ции f яв­ля­ет­ся от­ре­зок  левая квад­рат­ная скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i2 конец ар­гу­мен­та ; ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: Пи конец ар­гу­мен­та пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Зна­чит, ре­ше­ние ис­ход­но­го урав­не­ния су­ще­ству­ет тогда и толь­ко тогда, когда 5 Пи мень­ше или равно k мень­ше или равно 10 Пи , от­ку­да и по­лу­ча­ем ответ.

 

Ответ: k=16, 17, \ldots, 31.

 

б)  Из ра­вен­ства  ко­рень из y = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1998 конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из x по­лу­ча­ем, что y=1998 плюс x минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1998x конец ар­гу­мен­та , от­ку­да сле­ду­ет, что число 1998x долж­но быть пол­ным квад­ра­том, т. е. x=222l в квад­ра­те . Ана­ло­гич­но, y=222m в квад­ра­те , при­чем l плюс m=3, l, m при­над­ле­жит \Bbb Z_ плюс .

 

Ответ:  левая круг­лая скоб­ка x, y пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка 1998, 0 пра­вая круг­лая скоб­ка ; левая круг­лая скоб­ка 0, 1998 пра­вая круг­лая скоб­ка ; левая круг­лая скоб­ка 888, 222 пра­вая круг­лая скоб­ка ; левая круг­лая скоб­ка 222, 888 пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

в)  До­ка­жи­те вна­ча­ле сле­ду­ю­щее утвер­жде­ние.

Лемма. Если a, b, u, v при­над­ле­жит \Bbb N и a ко­рень из u плюс b ко­рень из v при­над­ле­жит \Bbb N, то  ко­рень из u , ко­рень из v при­над­ле­жит \Bbb N.

 

Ответ:  левая круг­лая скоб­ка x, y, z пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка 222, 222, 222 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

Мак­си­мум за сюжет 12 бал­лов. При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.