а) Найдите все целые k, при которых разрешимо уравнение
б) Найдите все целые решения уравнения
в) Найдите все натуральные решения уравнения
Решение. а) Не следует пугаться присутствующих в условии обратных тригонометрических функций. Поскольку то после замены получим уравнение Полученное уравнение разрешимо, если число входит в множество значений функции Для его нахождения можно стандартным образом исследовать функцию при помощи производной, а можно воспользоваться оценками
(заметим, что эти неравенства обращаются в равенства, соответственно, при или и ). Следовательно, множеством значений функции f является отрезок Значит, решение исходного уравнения существует тогда и только тогда, когда откуда и получаем ответ.
Ответ:
б) Из равенства получаем, что откуда следует, что число должно быть полным квадратом,
Ответ:
в) Докажите вначале следующее утверждение.
Лемма. Если и то
Ответ:
За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
---|---|
Верное и полное выполнение задания | 3 |
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
Остальные случаи | 0 |
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |