сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

а)  Ре­ши­те не­ра­вен­ство x в квад­ра­те плюс \dfrac4x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те \geqslant5.

б)  Ре­ши­те урав­не­ние  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a плюс 2 ко­си­нус 2x конец ар­гу­мен­та =a ко­си­нус x.

в)  Внут­ри угла ве­ли­чи­ной 60 гра­ду­сов с вер­ши­ной в точке A на рас­сто­я­нии 4 от нее рас­по­ло­же­на точка M. Най­ди­те рас­сто­я­ние между ос­но­ва­ни­я­ми пер­пен­ди­ку­ля­ров, опу­щен­ных из точки M на сто­ро­ны этого угла.

г)  Сколь­ко сто­рон имеет се­че­ние куба ABCDA'B'C'D' плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки K при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка A'D' пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , L при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка B'C' пра­вая квад­рат­ная скоб­ка и M при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка BB' пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , ко­то­рые делят эти от­рез­ки в, со­от­вет­ствен­но, от­но­ше­ни­ях 16:9, 2:3 и 1:2 (счи­тая от вер­ши­ны, ука­зан­ной пер­вой)?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  После стан­дарт­ных пре­об­ра­зо­ва­ний по­лу­чим не­ра­вен­ство

 дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 5x плюс 10 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби \geqslant0.

Ответ:  левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка минус 2; минус 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 2; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

б)  При a=2 по­лу­ча­ем урав­не­ние 2| ко­си­нус x|=2 ко­си­нус x, т. е.  ко­си­нус x\geqslant0. При a=0 имеем  ко­си­нус 2x=0, т. е. x= дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i4 плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Во­об­ще,  ко­си­нус x=0 есть ре­ше­ние толь­ко при a=2. По­это­му в даль­ней­шем будем счи­тать, что a ко­си­нус x боль­ше 0. После за­ме­ны t= ко­си­нус x по­лу­чим урав­не­ние  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a плюс 2 левая круг­лая скоб­ка 2t в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та =at, от­ку­да a минус 2= левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка t в квад­ра­те . Слу­чай a=2 уже ис­сле­до­ван, так что t в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби a плюс 2. Из усло­вий 0 мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби a плюс 2\leqslant1 по­лу­ча­ем, что a\geqslant минус 1. Таким об­ра­зом, t= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a плюс 2 конец ар­гу­мен­та при a при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка и t= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a плюс 2 конец ар­гу­мен­та при a боль­ше 0.

 

Ответ: x=\pm арк­ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a плюс 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 Пи k, k при­над­ле­жит \Bbb Z, при a при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка ; x= дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i4 плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , k при­над­ле­жит \Bbb Z, при a=0; x=\pm арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a плюс 2 конец ар­гу­мен­та плюс 2 Пи k, k при­над­ле­жит \Bbb Z, при a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0; 2 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 2; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка ;  левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i2 плюс 2 Пи k; дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i2 плюс 2 Пи k пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , k при­над­ле­жит \Bbb Z, при a=2.

 

в)  Имеем:  дробь: чис­ли­тель: KL, зна­ме­на­тель: синус альфа конец дроби =2R=AM, так что KL=4 синус дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i3.

 

Ответ: 2 ко­рень из 3 .

 

г)  Если рас­по­ло­жить на­ча­ло си­сте­мы ко­ор­ди­нат в вер­ши­не C куба, а ее оси на­пра­вить по его реб­рам, то из усло­вий на точки K, L, M сле­ду­ет, что их ко­ор­ди­на­ты равны K левая круг­лая скоб­ка 1, дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: конец дроби 25, 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , L левая круг­лая скоб­ка 0, дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , M левая круг­лая скоб­ка 0, 1, дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка . Для опре­де­ле­ния ко­эф­фи­ци­ен­тов урав­не­ния ax плюс by плюс cz=1 плос­ко­сти  левая круг­лая скоб­ка KLM пра­вая круг­лая скоб­ка по­лу­ча­ем си­сте­му

 \cases a плюс \tfrac925b плюс c=1, \tfrac35b плюс c=1, b плюс \tfrac13c=1, \endcases

от­ку­да a= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , b= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби и c= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Най­дем ко­ор­ди­на­ты точки P пе­ре­се­че­ния пря­мой AA' и плос­ко­сти KLM: x=y=1, так что z= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби 15. Для кон­тро­ля ука­жем от­но­ше­ния, в ко­то­рых точки Q и S плос­ко­сти делят, со­от­вет­ствен­но, ребра AB и AD куба: AQ:QB=1:5, AS:SD=1:25.

 

Ответ: Пять сто­рон.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

Мак­си­мум за сюжет 12 бал­лов. При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.