а) Найдите наименьшее положительное решение уравнения 
б) Найдите число решений уравнения 
в) Докажите, что уравнение 
имеет ровно два решения.
г) Докажите, что выражение 
принимает любое действительное значение тогда и только тогда, когда только одно из чисел a, b лежит между c и d.
а) Обозначим 
тогда
и 
Уравнение примет вид
У многочлена в левой части есть корень 
поэтому многочлен в левой части раскладывается на множители, один из которых равен 
Выделим его 
Значит, либо 
либо 
Ясно, что каждое свое положительное значение 
впервые при положительном x принимает на 
— возрастающая функция). Докажем, что
что очевидно, на самом деле 
Значит, наименьший положительный корень уравнения 
Ответ: 
б) Запишем уравнение в виде 
и изобразим графики обеих частей.
Правая часть дает график, похожий на 
только отраженный относительно вертикальной оси, сдвинутый вправо на 5 и вниз на −2.
Левая часть дает прямую, проходящую через начало координат. При 
очевидно есть одна общая точка, как и при 
При 
уменьшение a поворачивает прямую вокруг начала координат. При 
будет два корня — один при отрицательных x, второй при положительных.
При дальнейшем уменьшении a отрицательный корень будет всегда, а положительный исчезнет после того, как прямая пройдет через начальную точку графика 
и 
Это случится когда 
или 
Итак, получаем ответ. При 
—
Ответ: два решения при 
одно — при 
в) Перепишем уравнение в виде 
Заметим, что при 
левая часть равна
при 
левая часть равна
при 
левая часть равна 
Отсюда по непрерывности 
и 
есть корни. Итак, корней не менее двух.
Докажем, что корней не больше двух. Как известно, между двумя корнями непрерывно дифференцируемой функции всегда есть корень ее производной (это следствие теоремы Ролля), поэтому если корней больше двух, то у производной больше одного корня. Но производная равна
Итак, требуется найти условие, при котором для любого числа α существует решение квадратного уравнения
или
(случай 
следует рассмотреть отдельно). Преобразуем дискриминант этого квадратного уравнения:
Положим для краткости
и
Тогда
и 
Квадратное уравнение (относительно x) имеет решение тогда и только тогда, когда при всех α верно неравенство 
для чего необходимо и достаточно, чтобы дискриминант квадратичного относительно α выражения 
был не положителен. Проделанные вычисления показывают, что последний дискриминант равен
Для завершения доказательства осталось проверить, что неравенство
имеет место, когда одно из чисел a, b лежит между c и d.
г) Будем считать, что 
По условию, уравнение 
должно быть разрешимо для любого k. Преобразуем это уравнение 
получим 
При 
уравнение сводится к 
то есть к 
Это уравнение имеет корни всегда, кроме возможно случая, когда 
что невозможно, если ровно одно из чисел a и b лежит между c и d (например, если 
то 
аналогично разбираются и другие варианты), а мы ниже установим, что это условие выполнено.
При прочих k получаем квадратное уравнение
Его дискриминант должен быть неотрицателен. Вычислим его:
Для того, чтобы это выражение было всегда неотрицательно (теоретически кроме 
но если квадратный трехчлен неотрицателен везде, кроме одной точки, то он неотрицателен и в ней), необходимо и достаточно чтобы старший коэффициент этого квадратного трехчлена от k был положителен (это так) и его дискриминант был не положителен. Вычислим его:
Равенство нулю невозможно, поскольку a, b, c, d различны. Значит, на самом деле это выражение меньше нуля, откуда 
и 
имеют различные знаки. Но выражение 
отрицательно при 
и отрицательно при 
и 
значит, одно из чисел a и b лежит между c и d, а другое не лежит.
Обратно. Пусть числа расположены именно так. Тогда 
поэтому дискриминант трехчлена
не положителен, поэтому его значения всегда неотрицательны и трехчлен
всегда имеет корни, кроме того при уравнение 
разрешимо. Значит, функция действительно принимает все значения.