РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1142 Добавить в вариант

Решите систему уравнений

$система выражений 2y минус x минус 2xy= минус 1,4x в квадрате y в квадрате плюс x в квадрате плюс 4y в квадрате минус 4xy=61. конец системы .$

Спрятать решение

Решение.

Переписываем систему в виде

$система выражений левая круглая скобка 2 y минус x правая круглая скобка минус 2 x y= минус 1, левая круглая скобка 2 x y правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 2 y минус x правая круглая скобка в квадрате =61, конец системы ..$

после чего вводим новые переменные: $u=2 y минус x$ и $v=2 x y.$ Система принимает вид

$система выражений u минус v= минус 1, v в квадрате плюс u в квадрате =61 . конец системы ..$

Из первого уравнения $v=1 плюс u.$ Подставляя это во второе уравнение, получаем

$левая круглая скобка u плюс 1 правая круглая скобка в квадрате плюс u в квадрате =61 равносильно u в квадрате плюс u минус 30=0,$

откуда следует, что $u= минус 6$ (и тогда $v= минус 5 правая круглая скобка$ или $u=5$ (и тогда $v=6 правая круглая скобка .$

Если $u= минус 6$ и $v= минус 5,$ то

$система выражений 2 y минус x= минус 6, 2 x y= минус 5 конец системы . равносильно система выражений x=2 y плюс 6, 4 y в квадрате плюс 12 y плюс 5=0 . конец системы ...$

Отсюда получаем, что либо $y= минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби$ и $x=1,$ либо $y= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$ и $x=5 .$

Если $u=5$ и $v=6,$ то

$система выражений 2 y минус x=5, 2 x y=6 конец системы . равносильно система выражений x=2 y минус 5, 2 y в квадрате минус 5 y минус 3=0 . конец системы ...$

Отсюда получаем, что либо $y= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$ и $x= минус 6,$ либо $y=3$ и $x=1.$

Ответ: $левая фигурная скобка левая круглая скобка минус 6; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка , левая круглая скобка 1; 3 правая круглая скобка , левая круглая скобка 1; минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка , левая круглая скобка 5; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка правая фигурная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Выполнена замена переменных (как в решении или аналогичной ей) — 1 балл.

Система уравнений решена относительно новый переменных — 1 балл.

За рассмотрение каждого из двух вариантов значений (u, v) — по 1 баллу.

Аналоги к заданию № 908: 1142 Все

Олимпиада школьников Физтех, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Системы нелинейный уравнений, Методы алгебры. Замена переменной

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь