а) Решите уравнение 
б) Числа 
выбираются случайным образом. Найдите вероятность того, что многочлен 
имеет действительные корни.
в) Докажите, что если a, b, c — длины сторон некоторого треугольника, то из отрезков длиной 
также можно составить треугольник.
г) Дан треугольник ABC. Докажите, что если 
то он либо равнобедренный, либо прямоугольный.
а)Обозначим 
тогда 
и уравнение примет вид
Иными словами, сумма расстояний от точки t до точек 1 и 3 на вещественной прямой равно 2, то есть расстоянию между точками 1 и 3, поэтому подходят все точки отрезка 
Ответ:
б) Можно считать, что 
(поскольку вероятность события 
равна нулю). Тогда необходимо и достаточно выполнения условия 
то есть 
Рассмотрим на координатной плоскость с координатами 
график функции 
и вычислим площадь заштрихованной части (см рисунок)
При этом площадь всей области, откуда выбираются p и q, равна 4. Поэтому искомая вероятность равна
Ответ: 
в) Докажите, что если a, b, c — длины сторон некоторого треугольника, то из отрезков длиной также можно составить треугольник.
Пусть c — самая большая сторона. По неравенству треугольника 
Проверим для самой большой из сторон 
неравенство треугольника 
Докажем последнее неравенство. Возводя его в n — ую степень, получим 
что очевидно — раскрывая скобки в правой части по формуле бинома Ньютона, получим 
где все не выписанные слагаемые положительны.
г) Преобразуем равенство
Поделим на 
получим
Поскольку A и B углы треугольника, 
Более того, если 
то 
а 
и равенство невозможно. Итак, 
Аналогично 
Тогда либо 
где 
и треугольник является равнобедренным; либо 
где 
