РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1275 Добавить в вариант

Решите неравенство

$x в квадрате минус 2x плюс 1 минус \absx в кубе минус 1 минус 2 левая круглая скобка x в квадрате плюс x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате больше или равно 0.$

Спрятать решение

Решение.

Данное неравенство равносильно неравенству

$|x минус 1| в квадрате минус |x минус 1| левая круглая скобка x в квадрате плюс x плюс 1 правая круглая скобка минус 2 левая круглая скобка x в квадрате плюс x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате больше или равно 0 .$

Обозначим здесь $|x минус 1|=u$ и $x в квадрате плюс x плюс 1=v$ (заметим, что $u больше или равно 0,$ $v больше 0,$ так как v  — квадратный трёхчлен с отрицательным дискриминантом). Тогда неравенство принимает вид

$u в квадрате минус u v минус 2 v в квадрате больше или равно 0 .$

Раскладывая левую часть на множители (например, рассмотрев как квадратичную функцию относительно u и найдя корни), получаем $левая круглая скобка u плюс v правая круглая скобка левая круглая скобка u минус 2 v правая круглая скобка больше или равно 0 .$ Первый множитель положителен, поэтому $u больше или равно 2 v .$ Возвращаемся к переменной x:

$2 x в квадрате плюс 2 x плюс 2 \leqslant|x минус 1| равносильно левая круглая скобка 2 x в квадрате плюс 2 x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 0 равносильно левая круглая скобка 2 x в квадрате плюс 3 x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x в квадрате плюс x плюс 3 правая круглая скобка меньше или равно 0 .$ $2 x в квадрате плюс 2 x плюс 2 \leqslant|x минус 1| равносильно левая круглая скобка 2 x в квадрате плюс 2 x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 x в квадрате плюс 3 x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x в квадрате плюс x плюс 3 правая круглая скобка меньше или равно 0 .$ $2 x в квадрате плюс 2 x плюс 2 \leqslant|x минус 1| равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 x в квадрате плюс 2 x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 x в квадрате плюс 3 x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x в квадрате плюс x плюс 3 правая круглая скобка меньше или равно 0 .$

Второй множитель положителен, поэтому остаётся $2 x в квадрате плюс 3 x плюс 1 меньше или равно 0,$ откуда $минус 1 меньше или равно x \leqslant минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: $x принадлежит левая квадратная скобка минус 1; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Левая часть неравенства разложена на два множителя — 3 6алла.

Задача сведена к квадратному неравенству с модулем — 1 балл.

Решено это неравенство — 3 балла.

Аналоги к заданию № 1275: 1302 Все

Олимпиада школьников Физтех, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Неравенства с модулем, Методы алгебры. Замена переменной, Методы алгебры. Разложение на множители

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь