РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 908 Добавить в вариант

Решите систему уравнений

$система выражений 3x минус y минус 3xy= минус 1,9x в квадрате y в квадрате плюс 9x в квадрате плюс y в квадрате минус 6xy=13. конец системы .$

Спрятать решение

Решение.

Переписываем систему в виде

$система выражений левая круглая скобка 3 x минус y правая круглая скобка минус 3 x y= минус 1, левая круглая скобка 3 x y правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 3 x минус y правая круглая скобка в квадрате =13, конец системы .$

после чего вводим новые переменные: $u=3 x минус y$ и $v=3 x y .$ Система принимает вид

$система выражений u минус v= минус 1, v в квадрате плюс u в квадрате =13 . конец системы .$

Из первого уравнения $v=1 плюс u .$ Подставляя это во второе уравнение, получаем

$левая круглая скобка u плюс 1 правая круглая скобка в квадрате плюс u в квадрате =13, u в квадрате плюс u минус 6=0,$

откуда следует, что $u= минус 3$ (и тогда $v= минус 2 правая круглая скобка$ или $u=2$ (и тогда $v=3 правая круглая скобка .$

Если $u= минус 3$ и $v= минус 2,$ то

$система выражений 3 x минус y= минус 3, 3 x y= минус 2 конец системы . равносильно система выражений y=3 x плюс 3, 9 x в квадрате плюс 9 x плюс 2=0 . конец системы .$

Отсюда получаем, что либо $x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби$ и $y=2,$ либо $x= минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби$ и $y=1 .$

Если $u=2$ и $v=3,$ то

$система выражений 3 x минус y=2, 3 x y=3 конец системы . равносильно система выражений y=3 x минус 2, 3 x в квадрате минус 2 x минус 1=0 . конец системы .$

Отсюда получаем, что либо $x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби$ и $y= минус 3,$ либо $x=1$ и $y=1.$

Ответ: $левая фигурная скобка левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ; 1 правая круглая скобка , левая круглая скобка 1; 1 правая круглая скобка , левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ; минус 3 правая круглая скобка , левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ; 2 правая круглая скобка правая фигурная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Выполнена замена переменных (как в решении или аналогичной ей) — 1 балл.

Система уравнений решена относительно новый переменных — 1 балл.

За рассмотрение каждого из двух вариантов значений (u, v) — по 1 баллу.

Аналоги к заданию № 908: 1142 Все

Олимпиада школьников Физтех, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Системы нелинейный уравнений, Методы алгебры. Замена переменной

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь