Из второго уравнения последней системы следует, что Подбирая целый корень и выделяя множитель в левой части последнего уравнения, получаем
откуда или Значение не подходит. При получаем Тогда
При получаем Тогда
Ответ:
Критерии проверки:
Сделана замена переменных (как в решении) — 1 балл.
Получено кубическое уравнение относительно одной из новых переменных — 1 балл.
Из второго уравнения последней системы следует, что Подбирая целый корень и выделяя множитель в левой части последнего уравнения, получаем
откуда или Значение не подходит. При получаем Тогда
При получаем Тогда
Ответ:
Критерии проверки:
Сделана замена переменных (как в решении) — 1 балл.
Получено кубическое уравнение относительно одной из новых переменных — 1 балл.
Заметим, что выражение под модулем неотрицательно на ОДЗ (это квадратный трёхчлен относительно и Значит, модуль можно опустить. Перепишем неравенство в виде
Обозначая получаем откуда Если то
Если то
Значит,
Ответ:
Критерии проверки:
Обоснованно раскрыт модуль —1 балл.
При решении с помощью замены:
а) сделана замена и неравенство приведено к неравенству относительно t — 1 балл.
б) решено квадратное неравенство относительно t — 1 балл.
в) за каждый из двух рассмотренных промежутков для t — по 1 баллу.
Заметим, что выражение под модулем неотрицательно на ОДЗ (это квадратный трёхчлен относительно и Значит, модуль можно опустить. Перепишем неравенство в виде
Обозначая получаем откуда Если то
Если то
Значит,
Ответ:
Критерии проверки:
Обоснованно раскрыт модуль —1 балл.
При решении с помощью замены:
а) сделана замена и неравенство приведено к неравенству относительно t — 1 балл;
б) решено квадратное неравенство относительно t — 1 балл;
в) за каждый из двух рассмотренных промежутков для t — по 1 баллу.
б) наибольшее и наименьшее значения функции g(x).
Решение.
Преобразуем данную функцию:
Обозначим
а) После замены уравнение принимает вид
Возвращаясь к переменой x, получаем или откуда или
б) Знаменатель дроби положителен при всех t, а в числителе — фиксированное положительное число, поэтому максимум дроби достигается при минимуме знаменателя, а минимум дроби — при максимуме знаменателя. Итак,
(Минимум знаменателя получается в вершине параболы, т. е. при а максимум — в точке, наиболее удалённой от вершины, т. е. при t = 1.)
Ответ: а) б)
Критерии проверки:
Функция преобразована к рациональной относительно одной тригонометрической функции — 1 балл.
Решено уравнение пункта а) — 2 балла.
При этом неверно решены элементарные тригонометрические уравнения — (−1) балл.
Найдены максимум и минимум функции — 4 балла.
б) наибольшее и наименьшее значения функции g(x).
Решение.
Преобразуем данную функцию:
Обозначим
а) После замены уравнение принимает вид
Возвращаясь к переменой x, получаем или откуда или
б) Знаменатель дроби положителен при всех t, а в числителе — фиксированное положительное число, поэтому максимум дроби достигается при минимуме знаменателя, а минимум дроби — при максимуме знаменателя. Итак,
(Минимум знаменателя получается в вершине параболы, т. е. при а максимум — в точке, наиболее удалённой от вершины, т. е. при )
Ответ: а) б)
Критерии проверки:
Функция преобразована к рациональной относительно одной тригонометрической функции — 1 балл.
Решено уравнение пункта а) — 2 балла.
При этом неверно решены элементарные тригонометрические уравнения — (−1) балл.
Найдены максимум и минимум функции — 4 балла.
Так как во втором уравнении системы левая часть неположительная, а правая неотрицательна, то получаем из первого уравнения (то есть а из второго где Поэтому или где
Из первой серии на отрезок попадут 24 числа при их сумма равна
Из второй серии на отрезок попадут 6 чисел при их сумма равна
Тогда система принимает вид 
Подбирая целый корень 
и выделяя множитель 
в левой части последнего уравнения, получаем 
Значение 
не подходит. При 
Тогда 
получаем 
Тогда 
Тогда система принимает вид 
и выделяя множитель 
в левой части последнего уравнения, получаем 
Значение 
не подходит. При 
Тогда 
Подбирая целый корень 
Значение 
и 
(при этом 
и 
Тогда 
или 
Если 
то 
откуда 
тогда 
и 
Если 
то 
откуда 
тогда 
(при этом 
Тогда 
или 
Если 
то 
откуда 
тогда 
то 
откуда 
тогда 
и 
и 
Значит, модуль можно опустить. Перепишем неравенство в виде 
получаем 
откуда 
Если 
то 
то 
и неравенство приведено к неравенству относительно t — 1 балл.
— 2 балла.
получаем 
откуда 
Если 
то 
то 
и 
Тогда 
Если 
Тогда выражение преобразуется к виду 
Найдите:
или 
откуда 
или 
а максимум — в точке, наиболее удалённой от 
Найдите:
или 
откуда 
или 
а максимум — в точке, наиболее удалённой от вершины, т. е. при 
)
б) 
и 
После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых уравнение принимает вид 
то 
и 
если 
то 
и 
или 
— 3 балла.
или 
— 1 балл.
и 
После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых уравнение принимает вид 
то 
и 
если 
то 
и 
на луче x > 0.
имеем 
(равенство достигается при 
при этом 
при 
Функция 
возрастает при 
на луче x < 0.
неравенство принимает вид: 
Находим значения x. При 
получаем:
получаем:
Тогда, воспользовавшись формулой косинуса тройного угла, получим 
(то есть 
а из второго 
где 
Поэтому 
или 
где 
попадут 24 числа при 
их сумма равна 
их сумма равна 
