РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1585 Добавить в вариант

Решите уравнение

$левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 243 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка дробь: числитель: 9x, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка = дробь: числитель: 729, знаменатель: x в степени 4 конец дроби .$

Спрятать решение

Решение.

Логарифмируя по основанию 2, получаем уравнение, равносильное исходному:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 243 конец дроби правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 9 x, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 729, знаменатель: x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x минус 5 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка минус 2 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x плюс 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 3 правая круглая скобка =6 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 3 минус 4 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 243 конец дроби правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 9 x, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 729, знаменатель: x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка равносильно$
$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x минус 5 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка минус 2 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x плюс 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 3 правая круглая скобка =6 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 3 минус 4 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x .$

Обозначим $логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x=y$ и $логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 3=a.$ После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых уравнение принимает вид

$y в квадрате минус левая круглая скобка 3 a минус 2 правая круглая скобка y плюс 4 a минус 10 a в квадрате =0.$

Решаем квадратное уравнение относительно y:

$D= левая круглая скобка 3 a минус 2 правая круглая скобка в квадрате минус 4 левая круглая скобка 4 a минус 10 a в квадрате правая круглая скобка =49 a в квадрате минус 28 a плюс 4= левая круглая скобка 7 a минус 2 правая круглая скобка в квадрате ,$

$y= дробь: числитель: 3 a минус 2 \pm левая круглая скобка 7 a минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений y=5 a минус 2, y= минус 2 a . конец совокупности .$

Находим x : если $y= минус 2 a,$ то $логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x= минус 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 3$ и $x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби ;$ если $y=5 a минус 2,$ то $логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x=5 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 3 минус 2$ и $x= дробь: числитель: 243, знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: $левая фигурная скобка дробь: числитель: 243, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби правая фигурная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Уравнение приведено квадратному относительно логарифма по постоянному основанию — 3 балла.

Получен ответ в неупрощенном виде — 1 балл.

Получен ответ в упрощенном виде — 4 балла.

Уравнение приведено к виду $f левая круглая скобка x правая круглая скобка в степени левая круглая скобка g левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка =f левая круглая скобка x правая круглая скобка в степени левая круглая скобка h левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка$ или $f левая круглая скобка x правая круглая скобка в степени левая круглая скобка h левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка =g левая круглая скобка x правая круглая скобка в степени левая круглая скобка h левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка$  — 3 балла.

Если при таком способе решения рассмотрен только один из двух случаев $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =1,$ $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =h левая круглая скобка x правая круглая скобка$ или $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =g левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ $h левая круглая скобка x правая круглая скобка =0$  — 1 балл.

Аналоги к заданию № 1578: 1585 Все

Олимпиада школьников Физтех, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2015 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Уравнения комбинированные (без триг.), Методы алгебры. Замена переменной, Методы алгебры. Преобразования выражений

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь