Докажите, что для положительных x, y, z выполняется следующее неравенство:
Решение.
Рассмотрим первые две скобки и заметим, что
Тогда мы можем переписать требуемое неравенство в виде
Теперь зафиксируем z и и будем сдвигать x и друг к другу. При этом увеличивается, и достигает максимума при остальные части выражения остаются постоянными. Значит, требуемое равенство будет следовать из неравенства, полученного подстановкой в него т. е.
Обозначим тогда неравенство превращается в
Взяв производную, можно убедиться, что минимум левой части достигается при и равен 0, что доказывает требуемое неравенство. Таким образом, минимум и сходного выражения достигается при
и будем сдвигать x и 
друг к другу. При этом 
увеличивается, и достигает максимума при 
остальные части выражения остаются постоянными. Значит, требуемое равенство будет следовать из неравенства, полученного подстановкой в него 
т. е. 
тогда неравенство превращается в 
и равен 0, что доказывает требуемое неравенство. Таким образом, минимум и сходного выражения достигается при 