РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 676 Добавить в вариант

Найти x и y, которые удовлетворяют следующему уравнению:

$левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 2 корень из: начало аргумента: x конец аргумента плюс 2 правая круглая скобка в квадрате = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Спрятать решение

Решение.

Пусть

$u= левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x конец аргумента минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс 1=x минус 2 корень из: начало аргумента: x конец аргумента плюс 2 больше или равно 1,$

$v=y минус 2 корень из: начало аргумента: x конец аргумента плюс 2.$

Тогда $y минус x=v минус u$ и исходное уравнение примет вид

$левая круглая скобка v минус u правая круглая скобка в квадрате плюс v в квадрате = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$

$v в квадрате минус 2 u v плюс u в квадрате минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби =0 .$

Рассматривая последнее уравнение как квадратное относительно v, и учитывая не отрицательность дискриминанта, получим $u в квадрате меньше или равно 1.$ Следовательно, $u=1,$ $v= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ Тогда $x=1,$ $y= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: $левая фигурная скобка левая круглая скобка 1; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка правая фигурная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Баллы	Критерии оценивания
7	Полное обоснованное решение.
6	Обоснованное решение с несущественными недочетами.
5−6	Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений.
4	Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев.
2−3	Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи.
1	Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении.
0	Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Открытая олимпиада вузов Томской области, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Уравнения комбинированные (без триг.), Методы алгебры. Замена переменной

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь