Всего: 1000 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
Действительные числа a и b таковы, что 
Найдите сумму a + b.
Заметим, что
Складывая полученные выражения, получаем:
Ответ: 0.
| Критерии оценивания выполнения задания | Оценка | Баллы |
|---|---|---|
| Полное решение. | + | 14 |
| Представлены все основные логические шаги решения. В решении отсутствуют некоторые обоснования. Ответ верный. | ± | 11 |
| Найдена идея решения. Представлены основные логические шаги решения. Ответ неверный или отсутствует. | +/2 | 7 |
| Ответ верный. Решение отсутствует или неверное. | ∓ | 3 |
| Решение не соответствует ни одному критерию, описанному выше. | −/0 | 0 |
| Максимальный балл | 14 | |
Найдите такую пару чисел (x, y), при которых выражение 
принимает наименьшее возможное значение.
Перегруппируем:
Равенство достигается, если x = y = 2.
Ответ: {(x, y): (2, 2)}.
| Критерии оценивания выполнения задания | Оценка | Баллы |
|---|---|---|
| Задача решена полностью. | + | 10 |
| Решение задачи, содержит верную общую схему решения, в котором отсутствуют некоторые обоснования или в результате описки или арифметической ошибки найден неверный ответ. | ± | 7 |
| Решение содержит значительное продвижение в верном направлении. При этом решение не завершено или при правильном ответе в нем отсутствуют важные обоснования. | +/2 | 5 |
| Решение в целом неверное или незаконченное, но содержит определенное содержательное продвижение в верном направлении. ИЛИ Имеется верный ответ при рассмотрении частного случая. | ∓ | 2 |
| Задача не решена, содержательных продвижений нет. | − | 0 |
| Задача не решалась. | 0 | 0 |
Докажите следующее неравенство для положительных чисел a, b, c:
Воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем гармоническом 
для дробей в левой части неравенства.
Получим:
В силу неравенства о среднем арифметическом и среднем квадратичном получим:
Тогда имеем: 
что и доказывает исходное неравенство.
Частичные продвижения не оцениваются.
Неравенства о средних можно использовать без доказательства.
За арифметические ошибки, несущественно влияющие на ход решения — снимать 1 балл. (Чаще всего в этой задаче арифметическая ошибка рушит всё доказательство, нужно применять этот критерий очень осторожно).
Может ли число 
при каких-то целых x и y оказаться точным квадратом?
Так как 
то при любых целых x и y значение каждого из выражений в скобках — нечетное число. Квадрат нечетного числа при делении на 4 дает в остатке 1, поскольку
Таким образом, значение данного выражения является четным числом и при делении на 4 дает остаток 2. Пусть оно является точным квадратом, тогда это квадрат четного числа. Но квадрат любого четного числа делится на 4 — противоречие.
Ответ: Нет, не может.
Докажите следующее неравенство для положительных чисел a, b, c:
Воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем гармоническом
для дробей в левой части. Получим
По неравенству о среднем арифметическом и среднем квадратичном
откуда
что доказывает требуемое неравенство.
Частичные продвижения не оцениваются.
Неравенства о средних можно использовать без доказательства.
За арифметические ошибки, несущественно влияющие на ход решения — снимать 1 балл. (Чаще всего в этой задаче арифметическая ошибка рушит всё доказательство, нужно применять этот критерий очень осторожно).
На доске написаны все натуральные числа от 1 до 100. Можно любую пару чисел x, y заменять на 
Какое число останется после 99 таких операций?
Заметим, что
Если одно из пары заменяемых чисел x, y равно 29, то эта пара чисел заменяется на 29. Следовательно, на доске всегда одно из чисел будет равно 29. Именно это число останется после 99 рассматриваемых операций.
Ответ: 29.
| Критерии оценивания выполнения задания | Оценка | Баллы |
|---|---|---|
| Задача решена полностью. | + | 12 |
Ответ верный. Решение задачи, содержит верную общую схему решения, в котором отсутствуют некоторые обоснования. В частности, представлено разложение  , на основании которого без дополнительных пояснений представлен правильный ответ. | ± | 8 |
| Решение содержит значительное продвижение в верном направлении. При этом решение не завершено или при правильном ответе в нем отсутствуют важные обоснования. | +/2 | 6 |
| Ответ верный. Решение отсутствует или рассмотрены частные случаи замены пар чисел на одно число. | ∓ | 2 |
| Задача не решена, содержательных продвижений нет. | − | 0 |
| Задача не решалась. | 0 | 0 |
Решить уравнение 
Применяя к левой части уравнения формулу синуса двойного угла, а к правой части формулу преобразования разности косинусов в произведение получаем:
или
Отсюда или
или
Во втором случае, замечая, что
и применяя формулу преобразования суммы синусов в произведение, будем иметь
Так как 
то
Ответ: 
За обоснованное решение — 10 баллов, если получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки при верной последовательности всех шагов решения — 6 баллов.
Найти все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств
имеет единственное решение.
Разложим левые части неравенств на множители:
Если a ⩾ 3, то решение первого неравенства составляют множества 
а решение второго — множество 
так что у системы будет единственное решение x = a. В случае же a < 3 множества решений обоих неравенств содержат отрезок вида [b; 3], где в качестве b можно взять, например, наибольшее из чисел a и 2.
Ответ: 
За обоснованное решение — 15 баллов, если с помощью верного рассуждения получено множество значений 
—
Решить уравнение 
Переписав уравнение в следующем виде
и перемножив первую скобку с четвертой, вторую с третьей, получим
Сделав замену 
получим квадратное уравнение
решая которое, находим корни 
Уравнение
корней не имеет. Решая второе уравнение
находим корни 
Ответ: 
Обоснованно получен верный ответ — 8 баллов. Исходное уравнение верно сведено к квадратному уравнению, возможно, отличному от приведенного в решении, при решении которого получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки — 4 балла.
Решите в целых числах уравнение 
Рассмотрим данное уравнение как квадратное уравнение относительно x:
Дискриминант этого уравнения равен 
Он положителен лишь для следующих значений
Ответ: 
Обоснованно получен верный ответ — 10 баллов. Решение задачи сведено к исследованию квадратного уравнения относительно x или y и получены не все пары
При каких значениях a сумма четвертых степеней корней уравнения 
принимает наименьшее значение?
Уравнение имеет действительные корни, если 
то есть 
При 
и 
Отсюда
Функция 
убывает на промежутке 
и возрастает на промежутке 
Так как 
то свое наименьшее значение на промежутке 
функция 
принимает при 
Ответ: при 
1) Обоснованно получен верный ответ — 15 баллов. Решение задачи сведено к исследованию функции
и с учетом условия получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки — 10 баллов.
2) Решение задачи сведено к исследованию функции 
и с учетом условия получен верный ответ без исследования производной или свойств квадратичной функции — 6 баллов.
3) Решение задачи сведено к исследованию функции
и получен неверный ответ — 3−4 балла. Верный ответ без обоснования — 0 баллов.
Решить неравенство 
Вычислим:
Ответ: 
Обоснованно получен верный ответ — 7 баллов. Все действия, связанные с раскрытием модуля и решением неравенств, выполнены верно, но из-за вычислительной ошибки получен неверный ответ — 4 балла. Получен верный ответ без обоснования или с неверным обоснованием — 0 баллов.
Определить, при каких целых значениях x функция 
принимает наименьшее целое значение.
Запишем функцию f(x) в следующем виде:
Следовательно, для целых х значение f(x) будет целым в том и только том случае, когда x − 4 является одним из делителей числа 10, то есть принимает значения ±1, ±2, ±5, ±10. Вычисляя значения функции f(x), находим, что наименьшее целое значение −13 функция f(x) принимает при целых x = − 6 или x = 5.
Ответ: 
За обоснованное решение — 7 баллов, если получено, что наименьшее значение функции достигается только в одной точке при обоснованном решении — 4 балла.
Найти количество целых значений, которые принимает функция 
Запишем функцию в виде
Обозначим 
тогда
на отрезке 
Отсюда, получаем, что
Таким образом, множеством значений искомой функции, является промежуток 
Этот промежуток содержит 25 целых значений.
Ответ: 25.
Обоснованно получен верный ответ — 8 баллов. Решение сведено к нахождению множества значений функции 
на отрезке 
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки — 5 баллов. Решение сведено к нахождению множества значений функции на отрезке 
но решение не завершено — 2−3 балла.
Пусть f(t) — некоторая функция, такая что 
при 
Найдите 
если 
По условию при 
Пусть 
тогда 
Пусть 
и 
тогда
Итак, 
Ответ: −1.
Обоснованно получен верный ответ — 10 баллов.
Решение в целом верное, но имеются небольшие недочеты непринципиального характера — 7−8 баллов.
Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки — 3 балла.
Докажите, что
для всех 
Преобразуем исходное выражение
Перемножив соответственно левую и правую части выражений, получаем
Обоснованно получено верное доказательство — 10 баллов. Доказательство в целом верное, но имеются небольшие недочеты непринципиального характера — 7−8 баллов. Доказаны некоторые вспомогательные утверждения, обеспечивавшие продвижение в решении в верном
Решите уравнение:
I способ Метод мажорант. Преобразуем исходное выражение:
Так как каждая дробь в левой части уравнения не превосходит единицы, а таких дробей всего 1009, то уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда каждая дробь обращается в единицу. Следовательно,
II способ. Замена переменной. Пусть 
тогда
Так как выражение в квадратных скобках положительно, то
Ответ: −1.
Обоснованно получен верный ответ — 10 баллов. Решение в целом верное, но имеются небольшие недочеты непринципиального характера — 7−8 баллов. Получены некоторые вспомогательные утверждения, обеспечивающие продвижение в решении в верном направлении — 3−4 балла. Ответ получен подбором, но при этом выполнена проверка — 1 балл.
Положительные числа x, y и z таковы, что xyz = 20, x + y + z = 9. Докажите, что 
Выразим 
через 
Для этого заметим, что 
а 
откуда
Это выражение при положительных x принимает отрицательные значения только если 
То же самое можно заключить про остальные переменные. При этом все три переменные не могут быть быть больше 5, так как тогда их сумма слишком велика.
Таким образом, мы доказали, что если хотя бы одна из переменных лежит в промежутке от 0 до 5, сумма попарных произведений не меньше 24, а обратный случай невозможен. На самом деле, можно убедиться, что все переменные лежат в промежутке от 0 до 5.
В ходе решения участник олимпиады может пытаться использовать метод Штурма, неравенства о средних для двух или трёх переменных и другие известные неравенства и приёмы. Известные неравенства разрешается использовать без доказательства.
Положительные числа x, y и z таковы, что xyz = 24, x + y + z = 10. Докажите, что 
Выразим через x. Для этого заметим, что 
а 
откуда
Это выражение при положительных x принимает отрицательные значения только если 
То же самое можно заключить про остальные переменные. При этом все три переменные не могут быть быть больше 6, так как тогда их сумма слишком велика.
Таким образом, мы доказали, что если хотя бы одна из переменных лежит в промежутке от 2 до 6, сумма попарных произведений не меньше 28, а обратный случай невозможен. (На самом деле, можно убедиться, что все переменные лежат в промежутке от 2 до 6).
В ходе решения участник олимпиады может пытаться использовать метод Штурма, неравенства о средних для двух или трёх переменных и другие известные неравенства и приёмы. Известные неравенства разрешается использовать без доказательства.
Найдите сумму:
Поскольку
то, учитывая условие задачи, получаем
Ответ: 
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Наверх