РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 571 Добавить в вариант

При каких значениях a сумма четвертых степеней корней уравнения $x в квадрате минус x плюс a=0$ принимает наименьшее значение?

Спрятать решение

Решение.

Уравнение имеет действительные корни, если $1 минус 4 a больше или равно 0,$ то есть $a меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$ При $a меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби$ $x_1 плюс x_2=1$ и $x_1 умножить на x_2=a.$ Отсюда

$x_1 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс x_2 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка = левая круглая скобка x_1 в квадрате плюс x_2 в квадрате правая круглая скобка в квадрате минус 2 x_1 в квадрате умножить на x_2 в квадрате = левая круглая скобка левая круглая скобка x_1 плюс x_2 правая круглая скобка в квадрате минус 2 x_1 умножить на x_2 правая круглая скобка в квадрате минус 2 умножить на левая круглая скобка x_1 умножить на x_2 правая круглая скобка в квадрате =$
$= левая круглая скобка 1 в квадрате минус 2 a правая круглая скобка в квадрате минус 2 a в квадрате =1 минус 4 a плюс 4 a в квадрате минус 2 a в квадрате =2 a в квадрате минус 4 a плюс 1=2 умножить на левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус 1.$ $x_1 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс x_2 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка = левая круглая скобка x_1 в квадрате плюс x_2 в квадрате правая круглая скобка в квадрате минус 2 x_1 в квадрате умножить на x_2 в квадрате =$
$= левая круглая скобка левая круглая скобка x_1 плюс x_2 правая круглая скобка в квадрате минус 2 x_1 умножить на x_2 правая круглая скобка в квадрате минус 2 умножить на левая круглая скобка x_1 умножить на x_2 правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 1 в квадрате минус 2 a правая круглая скобка в квадрате минус 2 a в квадрате =$
$=1 минус 4 a плюс 4 a в квадрате минус 2 a в квадрате =2 a в квадрате минус 4 a плюс 1=2 умножить на левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус 1.$ $x_1 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс x_2 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка = левая круглая скобка x_1 в квадрате плюс x_2 в квадрате правая круглая скобка в квадрате минус 2 x_1 в квадрате умножить на x_2 в квадрате =$
$= левая круглая скобка левая круглая скобка x_1 плюс x_2 правая круглая скобка в квадрате минус 2 x_1 умножить на x_2 правая круглая скобка в квадрате минус 2 умножить на левая круглая скобка x_1 умножить на x_2 правая круглая скобка в квадрате =$
$= левая круглая скобка 1 в квадрате минус 2 a правая круглая скобка в квадрате минус 2 a в квадрате =1 минус 4 a плюс 4 a в квадрате минус 2 a в квадрате =$
$=2 a в квадрате минус 4 a плюс 1=2 умножить на левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус 1.$

Функция $f левая круглая скобка a правая круглая скобка =2 умножить на левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус 1$ убывает на промежутке $левая круглая скобка минус бесконечность ; 1 правая квадратная скобка$ и возрастает на промежутке $левая квадратная скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ Так как $a меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,$ то свое наименьшее значение на промежутке $левая круглая скобка минус бесконечность ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка$ функция $f левая круглая скобка a правая круглая скобка$ принимает при $a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: при $a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

1) Обоснованно получен верный ответ — 15 баллов. Решение задачи сведено к исследованию функции

$f левая круглая скобка a правая круглая скобка =2 a в квадрате минус 4 a плюс 1=2 умножить на левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус 1$

и с учетом условия $a меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби$ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки — 10 баллов.

2) Решение задачи сведено к исследованию функции $f левая круглая скобка a правая круглая скобка =2 a в квадрате минус 4 a плюс 1$ и с учетом условия $a меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби$ получен верный ответ без исследования производной или свойств квадратичной функции — 6 баллов.

3) Решение задачи сведено к исследованию функции

и получен неверный ответ — 3−4 балла. Верный ответ без обоснования — 0 баллов.

Открытая олимпиада вузов Томской области, 10 класс, 1 тур (отборочный), 2018 год

Классификатор: Задачи с параметрами. Уравнения, Методы алгебры. Преобразования выражений

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь