РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 568 Добавить в вариант

Решите в целых числах уравнение $x плюс y=x в квадрате минус xy плюс y в квадрате .$

Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим данное уравнение как квадратное уравнение относительно x:

$x в квадрате минус левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка x плюс y в квадрате минус y=0 .$

Дискриминант этого уравнения равен $минус 3 y в квадрате плюс 6 y плюс 1.$ Он положителен лишь для следующих значений y: 0, 1, 2. Для каждого из этих значений из исходного уравнения получаем квадратное уравнение относительно x, которое легко решается.

Ответ: $левая круглая скобка 0; 0 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 0; 1 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 1 ; 0 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 1 ; 2 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 2 ; 1 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 2; 2 правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Обоснованно получен верный ответ — 10 баллов. Решение задачи сведено к исследованию квадратного уравнения относительно x или y и получены не все пары решений — 3−5 баллов. Некоторые пары решений получены подбором — 1−2 балла.

Открытая олимпиада вузов Томской области, 10 класс, 1 тур (отборочный), 2018 год

Классификатор: Алгебра: числа. В целых числах нелинейные уравнения, Методы алгебры. Преобразования выражений

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь