сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

По­ло­жи­тель­ные числа x, y и z та­ко­вы, что xyz  =  24, x + y + z  =  10. До­ка­жи­те, что xy плюс yz плюс xz боль­ше или равно 28.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Вы­ра­зим x y плюс y z плюс x z через x. Для этого за­ме­тим, что y плюс z=10 минус x, а y z= дробь: чис­ли­тель: 24, зна­ме­на­тель: x конец дроби , от­ку­да

x y плюс y z плюс x z минус 28=x левая круг­лая скоб­ка 10 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: 24, зна­ме­на­тель: x конец дроби минус 28= дробь: чис­ли­тель: минус x в кубе плюс 10 x в квад­ра­те минус 28 x плюс 24, зна­ме­на­тель: x конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: x конец дроби .

Это вы­ра­же­ние при по­ло­жи­тель­ных x при­ни­ма­ет от­ри­ца­тель­ные зна­че­ния толь­ко если x боль­ше 6. То же самое можно за­клю­чить про осталь­ные пе­ре­мен­ные. При этом все три пе­ре­мен­ные не могут быть быть боль­ше 6, так как тогда их сумма слиш­ком ве­ли­ка.

Таким об­ра­зом, мы до­ка­за­ли, что если хотя бы одна из пе­ре­мен­ных лежит в про­ме­жут­ке от 2 до 6, сумма по­пар­ных про­из­ве­де­ний не мень­ше 28, а об­рат­ный слу­чай не­воз­мо­жен. (На самом деле, можно убе­дить­ся, что все пе­ре­мен­ные лежат в про­ме­жут­ке от 2 до 6).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

В ходе ре­ше­ния участ­ник олим­пи­а­ды может пы­тать­ся ис­поль­зо­вать метод Штур­ма, не­ра­вен­ства о сред­них для двух или трёх пе­ре­мен­ных и дру­гие из­вест­ные не­ра­вен­ства и приёмы. Из­вест­ные не­ра­вен­ства раз­ре­ша­ет­ся ис­поль­зо­вать без до­ка­за­тель­ства.


Аналоги к заданию № 606: 612 Все