Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Положительные числа x, y и z таковы, что xyz = 24, x + y + z = 10. Докажите, что 
Решение.
Спрятать критерииВыразим 
через x. Для этого заметим, что 
а 
откуда
Это выражение при положительных x принимает отрицательные значения только если 
То же самое можно заключить про остальные переменные. При этом все три переменные не могут быть быть больше 6, так как тогда их сумма слишком велика.
Таким образом, мы доказали, что если хотя бы одна из переменных лежит в промежутке от 2 до 6, сумма попарных произведений не меньше 28, а обратный случай невозможен. (На самом деле, можно убедиться, что все переменные лежат в промежутке от 2 до 6).
?
Открытая олимпиада школьников, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год