Положительные числа x, y и z таковы, что xyz = 24, x + y + z = 10. Докажите, что
Решение.
Выразим через x. Для этого заметим, что а откуда
Это выражение при положительных x принимает отрицательные значения только если То же самое можно заключить про остальные переменные. При этом все три переменные не могут быть быть больше 6, так как тогда их сумма слишком велика.
Таким образом, мы доказали, что если хотя бы одна из переменных лежит в промежутке от 2 до 6, сумма попарных произведений не меньше 28, а обратный случай невозможен. (На самом деле, можно убедиться, что все переменные лежат в промежутке от 2 до 6).
Критерии проверки:
В ходе решения участник олимпиады может пытаться использовать метод Штурма, неравенства о средних для двух или трёх переменных и другие известные неравенства и приёмы. Известные неравенства разрешается использовать без доказательства.
через x. Для этого заметим, что 
а 
откуда 
То же самое можно заключить про остальные переменные. При этом все три переменные не могут быть быть больше 6, так как тогда их сумма слишком велика.