РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 560 Добавить в вариант

Решить уравнение $синус левая круглая скобка 2x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка = косинус 2x минус косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби .$

Спрятать решение

Решение.

Применяя к левой части уравнения формулу синуса двойного угла, а к правой части формулу преобразования разности косинусов в произведение получаем:

$2 синус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 16 конец дроби правая круглая скобка косинус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 16 конец дроби правая круглая скобка = минус 2 синус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 16 конец дроби правая круглая скобка синус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 16 конец дроби правая круглая скобка$

или

$2 синус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 16 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка косинус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 16 конец дроби правая круглая скобка плюс синус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 16 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка =0 .$

Отсюда или

$синус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 16 конец дроби правая круглая скобка = 0 равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 16 конец дроби плюс Пи n , n принадлежит Z$

или

Во втором случае, замечая, что

$косинус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 16 конец дроби правая круглая скобка = синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 16 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка$

и применяя формулу преобразования суммы синусов в произведение, будем иметь

$синус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 16 конец дроби правая круглая скобка плюс косинус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 16 конец дроби правая круглая скобка = синус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 16 конец дроби правая круглая скобка плюс синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 16 конец дроби правая круглая скобка =$
$= 2 синус левая круглая скобка дробь: числитель: x плюс \tfrac Пи , знаменатель: 16 конец дроби плюс \tfrac Пи 2 минус x плюс \tfrac Пи 162 правая круглая скобка косинус левая круглая скобка дробь: числитель: x плюс \tfrac Пи , знаменатель: 16 конец дроби минус \tfrac Пи 2 плюс x минус \tfrac Пи 162 правая круглая скобка =2 синус левая круглая скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 16 конец дроби правая круглая скобка косинус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка =0 .$ $синус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 16 конец дроби правая круглая скобка плюс косинус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 16 конец дроби правая круглая скобка = синус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 16 конец дроби правая круглая скобка плюс синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 16 конец дроби правая круглая скобка =$
$= 2 синус левая круглая скобка дробь: числитель: x плюс \tfrac Пи , знаменатель: 16 конец дроби плюс \tfrac Пи 2 минус x плюс \tfrac Пи 162 правая круглая скобка косинус левая круглая скобка дробь: числитель: x плюс \tfrac Пи , знаменатель: 16 конец дроби минус \tfrac Пи 2 плюс x минус \tfrac Пи 162 правая круглая скобка =$
$=2 синус левая круглая скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 16 конец дроби правая круглая скобка косинус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка =0 .$ $синус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 16 конец дроби правая круглая скобка плюс косинус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 16 конец дроби правая круглая скобка =$
$= синус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 16 конец дроби правая круглая скобка плюс синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 16 конец дроби правая круглая скобка =$
$= 2 синус левая круглая скобка дробь: числитель: x плюс \tfrac Пи , знаменатель: 16 конец дроби плюс \tfrac Пи 2 минус x плюс \tfrac Пи 162 правая круглая скобка косинус левая круглая скобка дробь: числитель: x плюс \tfrac Пи , знаменатель: 16 конец дроби минус \tfrac Пи 2 плюс x минус \tfrac Пи 162 правая круглая скобка =$
$=2 синус левая круглая скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 16 конец дроби правая круглая скобка косинус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка =0 .$

Так как $синус левая круглая скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 16 конец дроби правая круглая скобка не равно q 0,$ то

$косинус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка =0 равносильно x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z .$

Ответ: $левая фигурная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 16 конец дроби плюс Пи n : k, n принадлежит Z правая фигурная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

За обоснованное решение  — 10 баллов, если получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки при верной последовательности всех шагов решения  — 6 баллов.

Открытая олимпиада вузов Томской области, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Тригонометрические уравнения, Методы алгебры. Преобразования выражений, Методы тригонометрии. Формулы двойных углов, Методы тригонометрии. Формулы суммы и разности

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь