Всего: 120 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
перпендикулярной основаниями. Разрезания 
и 
где M — середина AD.Две окружности пересекаются в точках Р и М. На первой окружности выбрана произвольная точка А, отличная от Р и М и лежащая внутри второй окружности, лучи РА и МА вторично пересекают вторую окружность в точках В и С соответственно. Доказать, что прямая, проходящая через А и центр первой окружности, перпендикулярна ВС.
как вписанные во вторую окружность, опирающиеся на общую хорду РС, и 
как вписанные в первую окружность, опирающиеся на общую хорду РА. Следовательно, четырёхугольник ВТРЕ вписанный, поэтому 
и прямые АЕ и ВС перпендикулярны.В треугольнике АВС отрезки АК, ВL и СМ — высоты, Н — их точка пересечения, S — точка пересечения МК и ВL, Р — середина отрезка АН, Т — точка пересечения прямой LР и стороны АВ. Доказать, что прямая SТ перпендикулярна стороне ВС.
Отсюда 
На плоскости дан отрезок АВ длины 1 и на нём произвольная точка М. На отрезках АМ и МВ как на сторонах построены квадраты AMCD и MBEF, лежащие по одну сторону от АВ. Пусть P и Q — точки пересечения диагоналей этих квадратов соответственно. Найдите геометрическое место середин отрезков PQ, когда точка М пробегает весь отрезок АВ.
Значит, расстояние от середины PQ до АВ равно 
Далее, если обозначит, длину АХ через 
то длина АY равна 
и расстояние от А до проекции середины PQ равно полусумме этих длин, то есть 
что находится в пределах от 
до 
Таким образом, мы доказали, что середина PQ всегда лежит на указанном в ответе отрезке ST. Заметим, что точки P и Q при этом перемещаются по катетам АК и ВК треугольника АКВ из ответа. 
На плоскости дан отрезок АВ и на нём произвольная точка М. На отрезках АМ и МВ как на сторонах построены квадраты AMCD и MBEF , лежащие по одну сторону от АВ, и N — точка пересечения прямых AF и BC. Докажите, что при любом положении точки М на отрезке АВ каждая прямая МN проходит через некоторую точку S, общую для всех таких прямых.
В четырёхугольнике АВСD точки P, Q, R, S — середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно, а T — точка пересечения отрезков PR и QS. Докажите, что сумма площадей четырёхугольников APTS и СRTQ равна половине площади четырёхугольника АВСD.
по теореме, обратной теореме Фалеса это влечёт параллельность PQ и АВ (и то, что отношение их длин равно 1 к 3). Аналогично доказывается параллельность остальных пар сторон. Строго говоря, отсюда следует подобие четырёхугольников с коэффициентом 
но это для решения задачи не нужно.
площади четырёхугольника XYZT. Покажем, что площадь последнего четырёхугольника равна половине площади ABCD. Заметим, что отрезок XY является средней линией треугольника АВС, поэтому площадь треугольника XBY равна четверти площади треугольника ABC. Аналогично, площадь треугольника ZDT равна четверти площади треугольника CDA, а сумма площадей XBY и ZDT равна четверти площади ABCD. Так же доказывается, что и сумма площадей YCZ и TAX равна четверти площади ABCD. Наконец, площадь XYZT равна разности площадей ABCD и треугольников XBY, ZDT, YCZ и TAX, то есть половине площади ABCD. Окончательно, площадь четырёхугольника равна 
площади четырёхугольника ABCD.
AB = AD. Найдите длину диагонали AC.
Поэтому
то 
Эта же высота является диаметром окружности. Отсюда получаем отношение площадей: 
Высота ромба, проведенная из вершины тупого угла, делит сторону в отношении 1 : 3, считая от вершины его острого угла. Какую часть площади ромба составляет площадь вписанного в него круга?
Эта же высота является диаметром окружности. Отсюда получаем отношение площадей: 
где S — площадь четырехугольника. Что за четырехугольник построил ученик, и что за точку указал учитель?
длины диагоналей обозначим через 
и 
через α — угол между диагоналями. Тогда 
Следовательно, искомый четырёхугольник квадрат, а точка P — точка пересечения диагоналей.
где S — площадь четырехугольника. Что за четырехугольник построил ученик, и что за точку указал учитель?
длины диагоналей обозначим через 
угол между диагоналями. Тогда В выпуклом четырёхугольнике ABCD проведена диагональ BD, и в каждый из полученных треугольников ABD и BCD вписана окружность. Прямая, проходящая через вершину B и центр одной из окружностей, пересекает сторону DA в точке M. При этом Аналогично, прямая, проходящая через вершину D и центр второй окружности, пересекает сторону BC в точке N. При этом
а) Найдите отношение AB : CD.
б) Найдите длины сторон AB и CD, если дополнительно известно, что данные окружности
касаются друг друга.
и 
Используя равенство отрезков касательной, проведённых к окружности из одной точки, получаем соотношения 
откуда 
и 
Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке P. Известно, что расстояния от точки P до сторон AB, BC, CD, DA равны 4, 
и 
соответственно (основания перпендикуляров, опущенных из точки P на стороны, лежат на этих сторонах).
а) Найдите отношение AP : PC.
б) Найдите длину диагонали BD, если дополнительно известно, что AC = 10.
и 
Следовательно, треугольники PBC и PDA подобны. Аналогично доказывается, что 
Соответствующие элементы подобных фигур относятся как коэффициент подобия. В данном случае в качестве соответствующих элементов выступают высоты, проведённые из вершины P. Отсюда находим, что коэффициент подобия равен 
для первой пары и 
для второй пары. 
Тогда 
то 
отсюда 
Следовательно, 
Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке P. Известно, что расстояния от точки P до сторон AB, BC, CD, DA равны 5, 
и 
соответственно (основания перпендикуляров, опущенных из точки P на стороны, лежат на этих сторонах).
а) Найдите отношение AP : PC.
б) Найдите длину диагонали BD, если дополнительно известно, что AC = 12.
Отсюда находим, что коэффициент подобия равен 
для первой пары и 
для второй пары. 
то 
отсюда 
Следовательно, 
