РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 458 Добавить в вариант

Дан выпуклый четырехугольник ABCD, в котором CD = 6, BC = 4, $\angle BAD=90 градусов,\angle BCD=60 градусов,$ AB = AD. Найдите длину диагонали AC.

Спрятать решение

Решение.

Повернем четырехугольник ABCD вокруг точки А на 90° (против часовой стрелки). Пусть точка B, C и D перейдут в точки B₁, C₁, D₁ соответственно. Из условия задачи следует, что

$B_1 \equiv D,AC=AC_1,\angle BCA = \angle DC_1A,\angle ACD = \angle AC_1D_1,\angle CAC_1=90 градусов,$ $B_1 \equiv D,AC=AC_1,\angle BCA =$
$= \angle DC_1A,\angle ACD = \angle AC_1D_1,\angle CAC_1=90 градусов,$

Откуда $\angle AC_1D плюс \angle ACD = \angle BCA плюс \angle ACD = 60 градусов.$ Поэтому

$\angle CDC_1=180 градусов минус левая круглая скобка \angle DCC_1 плюс \angle DC_1C правая круглая скобка =$

$=180 градусов минус левая круглая скобка 180 градусов минус \angle CAC_1 минус \angle AC_1D минус \angle ACD правая круглая скобка =90 градусов плюс 60 градусов.$

По теореме косинусов в треугольнике CDC₁ получаем:

$CC_1 в квадрате =6 в квадрате плюс 4 в квадрате минус 2 умножить на 6 умножить на 4 умножить на косинус левая круглая скобка 90 градусов плюс 60 градусов правая круглая скобка =52 плюс 24 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Так как $CC_1 в квадрате =AC в квадрате плюс AC_1 в квадрате =2AC в квадрате ,$ то $AC в квадрате =26 плюс 12 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента равносильно AC= корень из: начало аргумента: 26 плюс 12 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента .$

Ответ: $корень из: начало аргумента: 26 плюс 12 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Оценка	Баллы
Задача решена полностью.	+	14
Решение задачи, содержит верную общую схему решения, в котором отсутствуют некоторые обоснования или в результате описки или арифметической ошибки найден неверный ответ.	±	10
Решение содержит значительное продвижение в верном направлении. При этом решение не завершено или при правильном ответе в нем отсутствуют важные обоснования.	+/2	7
Решение в целом неверное или незаконченное, но содержит определенное содержательное продвижение в верном направлении.	∓	3
Задача не решена, содержательных продвижений нет.	−	0
Задача не решалась.	0	0

Всероссийская олимпиада школьников Миссия выполнима. Твое призвание-финансист!, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Четырехугольник произвольный, Методы геометрии. Теорема косинусов

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь