Вписанная окружность треугольника АВС касается его сторон АВ, ВС и СА в точках Р, К и М соответственно, а точки Т и Х — середины отрезков МР и МК. Докажите, что четырех угольник АТХС — вписанный.
Заметим, что треугольники АРМ, ВРК и СМК равнобедренные и отрезки АТ и СХ — высоты к основаниям в АРМ и СМК, а средняя линия ТХ треугольника РКМ параллельна его стороне РК. Тогда угол ТАМ равен половине угла А, а угол ТХС равен сумме углов СХМ и ТХМ. Угол СХМ прямой, а угол ТХМ равен углу РКМ, который равен углу РМА, как вписанный во вписанную окружность и опирающийся на хорду РМ с проведённой через её вершину М касательной АС. Сумма углов РМА и ТАМ в прямоугольном треугольнике АТМ равна 90 градусов, значит, сумма углов ТАМ и ТХС равна 180 градусов. Следовательно, четырёхугольник АТХС — вписанный.