РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1290 Добавить в вариант

Внутренняя точка Q остроугольного треугольника MNK удовлетворяет условию

$MN в квадрате плюс QK в квадрате =NK в квадрате плюс MQ в квадрате =MK в квадрате плюс NQ в квадрате .$

Чем является точка точка Q для треугольника MNK?

Спрятать решение

Решение.

Проведем перпендикуляр QH к стороне MK и высоту BL. По теореме Пифагора:

$M N в квадрате минус M L в квадрате =N K в квадрате минус K L в квадрате$

или

$M N в квадрате минус N K в квадрате =M L в квадрате минус K L в квадрате .$

Но по условию $M N в квадрате минус N K в квадрате =M Q в квадрате минус Q K в квадрате .$

С другой стороны, имеем, что:

$M Q в квадрате минус M H в квадрате =Q K в квадрате минус H K в квадрате$

или

$M Q в квадрате минус Q K в квадрате =M H в квадрате минус H K в квадрате$

Тогда

$M N в квадрате минус N K в квадрате =M L в квадрате минус K L в квадрате =M Q в квадрате минус Q K в квадрате =M H в квадрате минус H K в квадрате \Rightarrow M L в квадрате минус K L в квадрате =M H в квадрате минус H K в квадрате ,$ $M N в квадрате минус N K в квадрате =M L в квадрате минус K L в квадрате =M Q в квадрате минус Q K в квадрате =M H в квадрате минус H K в квадрате \Rightarrow$
$\Rightarrow M L в квадрате минус K L в квадрате =M H в квадрате минус H K в квадрате ,$

следовательно, точки H и L совпадают, значит, точка Q лежит на высоте BL.

Аналогично доказывается, что точка Q лежит на двух других высотах треугольника MNK, откуда следует, что точка Q является точкой пересечения высот треугольника MNK.

Ответ: точкой пересечения высот треугольника.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания	Баллы
Полное обоснованное решение	7
Обоснованное решение с несущественными недочетами	6
Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений	5−6
Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев	4
Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи	2−3
Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные) случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении	1
Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Открытая олимпиада вузов Томской области, 8 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Четырехугольник произвольный, Методы геометрии. Свойства центроида, инцентра, ортоцентра

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь