сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В вы­пук­лом четырёхуголь­ни­ке ABCD про­ве­де­на диа­го­наль BD, и в каж­дый из по­лу­чен­ных тре­уголь­ни­ков ABD и BCD впи­са­на окруж­ность. Пря­мая, про­хо­дя­щая через вер­ши­ну B и центр одной из окруж­но­стей, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну DA в точке M. При этом Ана­ло­гич­но, пря­мая, про­хо­дя­щая через вер­ши­ну D и центр вто­рой окруж­но­сти, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну BC в точке N. При этом

а)  Най­ди­те от­но­ше­ние AB : CD.

б)  Най­ди­те длины сто­рон AB и CD, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что дан­ные окруж­но­сти

ка­са­ют­ся друг друга.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Так как бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка делит его сто­ро­ну про­пор­ци­о­наль­но двум дру­гим сто­ро­нам,

A B: B D=A M: M D=2: 3 и B D: D C=B N: N C=6: 5 .

Сле­до­ва­тель­но,

A B: C D= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби =4: 5.

б)  Обо­зна­чим точки ка­са­ния окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABD, с его сто­ро­на­ми AB, AD, BD через P, F, K со­от­вет­ствен­но; точки ка­са­ния окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник BCD с его сто­ро­на­ми BC, CD, BD  — через Q, E, K со­от­вет­ствен­но (по усло­вию точка ка­са­ния со сто­ро­ной BD общая). Пусть B K=x, K D=y . Ис­поль­зуя ра­вен­ство от­рез­ков ка­са­тель­ной, про­ведённых к окруж­но­сти из одной точки, по­лу­ча­ем со­от­но­ше­ния

 B Q=B P=B K=x,  D F=D E=D K=y,  A F=A D минус D F=4 минус y,  A P=A F=4 минус y,

C Q=B C минус B Q=5 минус x,  C E=C Q=5 минус x,  A B=A P плюс P B=4 плюс x минус y,  C D=5 минус x плюс y .

В пунк­те а) было по­лу­че­но, что A B: C D=4: 5, от­ку­да

 дробь: чис­ли­тель: 4 плюс x минус y, зна­ме­на­тель: 5 минус x плюс y конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби рав­но­силь­но x=y .

Тогда A B=4 и C D=5.

 

Ответ: а) AB:CD = 4 : 5, AB= 4, CD = 5.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Решен пункт а) — 2 балла.

Решен пункт б) — 3 балла.


Аналоги к заданию № 1152: 1159 Все