Пусть О — точка пересечения диагоналей выпуклого четырёхугольника ABCD, а P, Q, R, S — точки пересечения медиан треугольников AОB, BОC, CОD и DОA соответственно. Найти отношение площадей четырёхугольников PQRS и ABCD.
Обозначим середины сторон AB, BC, CD и DA четырёхугольника ABCD через X, Y, Z, T соответственно. По свойству медиан, точки P, Q, R, S делят отрезки OX, OY, OZ, OT в отношении 2 : 1, считая от О. Следовательно, площадь четырёхугольника PQRS равна 
площади четырёхугольника XYZT. Покажем, что площадь последнего четырёхугольника равна половине площади ABCD. Заметим, что отрезок XY является средней линией треугольника АВС, поэтому площадь треугольника XBY равна четверти площади треугольника ABC. Аналогично, площадь треугольника ZDT равна четверти площади треугольника CDA, а сумма площадей XBY и ZDT равна четверти площади ABCD. Так же доказывается, что и сумма площадей YCZ и TAX равна четверти площади ABCD. Наконец, площадь XYZT равна разности площадей ABCD и треугольников XBY, ZDT, YCZ и TAX, то есть половине площади ABCD. Окончательно, площадь четырёхугольника равна 
площади четырёхугольника ABCD.
Ответ: 