В четырёхугольнике ABCD равные диагонали АС и BD пересекаются в точке О, а точки Р и Q — середины сторон АВ и CD соответственно. Докажите, что биссектриса угла АОD перпендикулярна отрезку РQ.
Отложим от точки В отрезок ВЕ, равный и параллельный диагонали АС. Тогда четырёхугольник АЕВС является параллелограммом, сторона АВ — одной его диагональю, а отрезок ЕС — другой, следовательно, точка Р является также серединой отрезка ЕС. Поэтому РQ является средней линией треугольника ЕСD и параллелен его стороне ED. Ввиду параллельности сторон углов АОD и ЕВD, их биссектрисы также параллельны. Треугольник ЕВD является равнобедренным, следовательно, биссектриса угла ЕВD при его вершине, перпендикулярна основанию ED. Значит, биссектриса угла АОD перпендикулярна отрезку РQ.