В прямоугольной трапеции ABCD сумма длин оснований AD и BC равна её высоте АВ. В каком отношении делит боковую сторону CD биссектриса угла АВС?
Решение.
Обозначим пересечение биссектрисы угла АВС с прямой AD за Q. Угол АВС прямой, поэтому треугольник ABQ — прямоугольный равнобедренный и длина отрезка AQ равна длине высоты АВ, то есть сумме длин AD и BC. Следовательно, точка Q расположена на продолжении основания AD за точку D и длина отрезка DQ равна длине основания ВС.
Значит, четырёхугольник ВСQD является параллелограммом и биссектриса ВQ угла АВС, являющаяся в нём диагональю, делит боковую сторону CD, являющаяся в нём другой диагональю, пополам.
Ответ: 1 : 1.
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Верное решение.
7
Не доказано, что Q расположена на продолжении основания AD за точку D.
5
Доказано, что Q расположена на продолжении основания AD за точку
D и длина отрезка DQ равна длине основания ВС.
3
Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев.
В трапеции ABCD с основаниями BC и AD угол DAB прямой. Известно, что на стороне CD существует единственная точка M такая, что угол BMA прямой. Докажите, что и
Решение.
Построим на стороне AB как на диаметре окружность. Так как угол BMA прямой, то точка M лежит на этой окружности. Так как такая точка M единственная на стороне CD, то CD — касательная к окружности. Следовательно, и
В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD и BC из вершин B и D к диагонали AC проведены перпендикуляры BH и DK. Известно, что основания перпендикуляров лежат на отрезке AC и Найти площадь трапеции ABCD.
Решение.
Заметим, что прямоугольные треугольники DKA и BHC подобны, так как Пусть Ввиду подобия
С другой стороны, и по теореме Пифагора:
Отсюда Так как, то, подставляя в последнее уравнение, получим:
ABCD — равнобедренная (равнобокая) трапеция с основаниями AD и BC, а BCDE — равнобедренная трапеция с основаниями CD и BE. Докажите, что
Решение.
Из равнобедренности трапеций получаем равенство углов Кроме того, и Следовательно, треугольники и равны, откуда получаем требуемое равенство углов.
ABCD — равнобедренная (равнобокая) трапеция с основаниями AD и BC, а BCDE — равнобедренная трапеция с основаниями CD и BE. Докажите, что
Решение.
Из равнобедренности трапеции получаем равенство углов Кроме того, и Следовательно, треугольники ABC и CED равны, откуда получаем требуемое равенство углов.
В трапеции ABCD боковая сторона AB равна диагонали AC. На меньшей дуге AD описанной окружности треугольника ABD выбрана точка E так, что AB = AE. Найдите
Решение.
Из равнобедренности треугольника ABC и параллельности BC и AD получаем
Пусть прямая BC пересекается с описанной окружностью треугольника ABD в точке F. Тогда ABFD — вписанная, т. е. равнобедренная, трапеция, откуда дуги AB,AE и DF равны. Отсюда
так как эти углы опираются на одну дугу. Отсюда
Значит, в равнобедренном треугольнике EAC выполняется равенство
Кроме того,
Ответ: 90°.
Критерии проверки:
Только ответ — 0 баллов.
Идея дополнительного построения, аналогичного точке F в авторском решении — 0,5 балла.
Выписаны все или почти всего углы, равные α, β, γ — ещё 0,5 балла.
Около окружности радиуса 6 описана равнобочная трапеция. Найдите площадь трапеции, если известно, что площадь четырехугольника, вершинами которого служат точки касания окружности и трапеции, равна 48.
Решение.
Обозначим через М и N — точки касания окружности с боковыми сторонами трапеции (см. рис.). Проведем NK — диаметр окружности и Прямоугольные треугольники МNK и НСD подобны, так как у них (утлы со взаимно перпендикулярными сторонами). Поэтому
а площадь данного четырехугольника со взаимно перпендикулярными диагоналями равна
откуда площадь трапеции с основаниями 2а и 2b (по свойству касательных) и высотой 2R равна
Замечание. В предыдущем варианте этой задачи, в которой и площадь четырехугольника равна 50, трапеция вырождается в квадрат с площадью, конечно, равной 100. Это должно быть отражено в решении.
Ответ: 216.
Критерии проверки:
Обоснованно получен верный ответ — 10 баллов. Ход решения в целом верен, но из-за вычислительной ошибки получен неверный ответ — 4−6 баллов. Верный ответ без обоснования или с неверным обоснованием — 0 баллов.
В трапеции ABCD боковая сторона BC равна диагонали BD. На меньшей дуге AB описанной окружности треугольника ABC выбрана точка E так, что BC = BE. Найдите
Решение.
Из равнобедренности треугольника BCD и параллельности AB и CD получаем
Пусть прямая CD пересекается с описанной окружностью треугольника ABC в точке F. Тогда BCFA — вписанная, т. е. равнобедренная, трапеция, откуда дуги BC, BE и AF равны. Отсюда и так как эти углы опираются на одну дугу. Тогда
Значит, в равнобедренном треугольнике EBD выполняется равенство
Кроме того,
Ответ: 90°.
Критерии проверки:
Только ответ — 0 баллов.
Идея дополнительного построения, аналогичного точке F в авторском решении −0,5 балла.
Выписаны все или почти всего углы, равные α, β, γ — ещё 0,5 балла.
Косинус угла между боковыми сторонами AD и BC трапеции ABCD равен 0,8. В трапецию вписана окружность, причем сторона AD делится точкой касания на отрезки длины 1 и 4. Определите длину боковой стороны BC трапеции.
Решение.
Пусть S — точка пересечения прямых AD и BC; K, L, M — точки касания вписанной в трапецию окружности со сторонами AB, AD и CD соответственно, O — ее центр. Тогда OK и AB, OM и CD перпендикулярны друг другу, как радиусы, и поскольку AB параллельна CD, точки K, O, M лежат на одной прямой, то есть KM — диаметр. Условию задачи отвечают два возможных случая расположения точки L на стороне AD.
1) В этом случае (рис. 2). Тогда Опустим Учитывая, что AN параллельна KM, получаем В прямоугольном треугольнике ADN гипотенуза равна катет следовательно, Значит, а учитывая условие задачи, приходим к выводу, что а прямая SC параллельна AN. Следовательно, трапеции прямой, а длина
2) В этом случае (рис. 3). Как и раньше, длина перпендикуляра Острый угол является внешним для трапеции и треугольника поэтому
Учитывая, что находим
Так как то
Ответ: 4 или
Критерии проверки:
Баллы
Критерии оценивания
7
Полное обоснованное решение.
6
Обоснованное решение с несущественными недочетами.
5−6
Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений.
4
Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев.
2−3
Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи.
1
Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении.
0
Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.
Угол между боковыми сторонами AB и CD трапеции ABCD равен В трапецию вписана окружность, причем сторона AB делится точкой касания на отрезки длины и Определите длину боковой стороны CD трапеции.
Решение.
Аналогичное решение этой задачи присутствует в варианте 1 под номером 664.
Ответ: 6 или 12.
Критерии проверки:
Баллы
Критерии оценивания
7
Полное обоснованное решение.
6
Обоснованное решение с несущественными недочетами.
5−6
Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений.
4
Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев.
2−3
Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи.
1
Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении.
0
Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.
ABCD — трапеция, Точка K лежит на продолжении луча BC за точку C, Кроме того, и — точки пересечения диагоналей четырехугольников и соответственно. Докажите, что
Решение.
Заметим, в четырёхугольниках ABCD и DLKC совпадают все четыре угла и отношения двух соответствующих сторон, следовательно, они подобны.
При это точка A соответствует точке D, точка O соответствует точке M, точка K соответствует точке C. Значит,
и, следовательно, по теореме Фалеса прямая OM параллельная основаниям трапеции.
Дана равнобедренная описанная трапеция ABCD. CD — меньшее основание, H — основание перпендикуляра, опущенного из точки C на AB. Докажите, что биссектриса угла A пересекает отрезок CH.
Решение.
Пусть Тогда, по признаку описанного четырёхугольника, Тогда
Отсюда по теореме Пифагора находим
Далее, Значит, треугольник ADH равнобедренный и биссектриса угла A является в нём серединным перпендикуляром к DH. Но тогда это и серединный перпендикуляр в треугольнике CDH, а серединный перпендикуляр к стороне треугольника пересекает большую из оставшихся сторон, то есть BH.
Дана равнобедренная описанная трапеция ABCD. BC — меньшее основание, H — основание перпендикуляра, опущенного из точки B на AD. Докажите, что биссектриса угла D пересекает отрезок BH.
Решение.
Пусть Тогда, по признаку описанного четырёхугольника, Тогда
Отсюда по теореме Пифагора находим
Далее, Значит, треугольник CDH равнобедренный и биссектриса угла D является в нём серединным перпендикуляром к CH. Но тогда это и серединный перпендикуляр в треугольнике CBH, а серединный перпендикуляр к стороне треугольника пересекает большую из оставшихся сторон, то есть BH.
ABCD — трапеция, Точка K лежит на продолжении луча AB за точку B, Кроме того, O и X — точки пересечения диагоналей четырехугольников ABCD и KLBC соответственно. Докажите, что
Решение.
Заметим, в четырёхугольниках ABCD и LKBC совпадают все четыре угла и отношения двух соответствующих сторон, следовательно, они подобны. При это точка D соответствует точке C, точка O соответствует точке M, точка K соответствует точке B. Значит,
и, следовательно, по теореме Фалеса прямая OM параллельная основаниям трапеции.
В равнобедренной трапеции MNKL с основаниями ML,NK диагонали перпендикулярны сторонам MN,KL и пересекаются под углом Найдите высоту трапеции, если длина где Q — середина большего основания.
Решение.
Пусть ML большее основание трапеции MNKL. Рассмотрим треугольник
где Q — середина ML (по условию), следовательно, Q — середина гипотенузы
так как (по условию). Пусть точка О — точка пересечения диагоналей, точка H — основание перпендикуляра, опущенного из K на основание ML, тогда KH — искомая высота.
Рассмотрим треугольник MOL: — внешний угол в равнобедренном треугольнике
Рассмотрим треугольник MKL:
Рассмотрим треугольник MKH: тогда искомая высота
Ответ:
Критерии проверки:
Баллы
Критерии оценивания
7
Полное обоснованное решение.
6
Обоснованное решение с несущественными недочетами.
5−6
Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений.
4
Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев.
2−3
Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи.
1
Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении.
0
Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.
В трапеции ABCD на основаниях AD = 17 и BC = 9 отмечены точки E и F соответственно так, что MENF — прямоугольник, где M и N — середины диагоналей трапеции. Найдите длину отрезка EF.
В трапеции ABCD на основаниях AD = 23 и BC = 13 отмечены точки E и F соответственно так, что MENF — прямоугольник, где M и N — середины диагоналей трапеции. Найдите длину отрезка .
Угол между диагоналями трапеции равен 60°. Докажите, что сумма длин боковых сторон не меньше, чем длина большего основания.
Решение.
Пусть основания трапеции — AD и BC, а диагонали пересекаются в точке O. Рассмотрим сначала более сложный случай, когда
Лемма. Пусть на стороне произвольного треугольника ABC построен вовне правильный треугольник ABK. Тогда для любой точки P имеет место неравенство
Доказательство леммы: построим правильный треугольник APM, ориентированный как ABK. Тогда треугольники AKM и ABP равны по двум сторонам и углу, и
Теперь построим параллелограммы BCED и ABDK. Треугольник KDE получается из ABC переносом на вектор поэтому В силу параллельности и
Имея в виду применить лемму, отложим правильный треугольник CNE вовне CKE. Треугольники KEN и ACE равны по двум сторонам и углу 120° между ними, поэтому Пользуясь леммой, имеем
что и требовалось доказать.
Теперь рассмотрим более простой случай, когда Приведём этот случай к предыдущему с помощью сжатий. А именно, будем сдвигать BC к AD в направлении, перпендикулярном AD (на рисунке — вниз). При этом углы CAD и CDA уменьшаются, значит, увеличивается. Можно привести BC в такое положение, что По уже доказанной части задачи, в этом случае сумма боковых сторон будет не меньше основания. Но боковые стороны в процессе сжатия уменьшились (по теореме Пифагора), а основание не изменилось. Значит, до сжатия это неравенство тем более выполнялось.
Угол между диагоналями трапеции равен 60°. Докажите, что сумма длин боковых сторон не меньше, чем длина большего основания.
Решение.
Пусть основания трапеции — AD и BC, а диагонали пересекаются в точке O. Рассмотрим сначала более сложный случай, когда
Лемма. Пусть на стороне произвольного треугольника ABC построен вовне правильный треугольник ABK. Тогда для любой точки P имеет место неравенство
Доказательство леммы: построим правильный треугольник APM, ориентированный как ABK. Тогда треугольники AKM и ABP равны по двум сторонам и углу, и
Теперь построим параллелограммы BCED и ABDK. Треугольник KDE получается из ABC переносом на вектор поэтому В силу параллельности и
Имея в виду применить лемму, отложим правильный треугольник CNE вовне CKE. Треугольники KEN и ACE равны по двум сторонам и углу 120° между ними, поэтому Пользуясь леммой, имеем
что и требовалось доказать.
Теперь рассмотрим более простой случай, когда Приведём этот случай к предыдущему с помощью сжатий. А именно, будем сдвигать BC к AD в направлении, перпендикулярном AD (на рисунке — вниз). При этом углы CAD и CDA уменьшаются, значит, увеличивается. Можно привести BC в такое положение, что По уже доказанной части задачи, в этом случае сумма боковых сторон будет не меньше основания. Но боковые стороны в процессе сжатия уменьшились (по теореме Пифагора), а основание не изменилось. Значит, до сжатия это неравенство тем более выполнялось.
и 
Найти площадь трапеции ABCD.
Пусть 
Ввиду подобия 
и по теореме Пифагора:
Так как, то, подставляя в последнее уравнение, получим:
Кроме того, 
и 
Следовательно, треугольники 
и 
равны, откуда получаем требуемое равенство углов.
— ещё 0,5 балла.
Прямоугольные треугольники МNK и НСD подобны, так как у них 
(утлы со взаимно перпендикулярными сторонами). Поэтому 
и площадь четырехугольника равна 50, трапеция вырождается в квадрат с площадью, конечно, равной 100. Это должно быть отражено в решении. 
и 
так как эти углы опираются на одну дугу. Тогда
(рис. 2). Тогда 
Опустим 
Учитывая, что AN параллельна KM, получаем 
В прямоугольном треугольнике ADN гипотенуза равна 
катет 
следовательно, 
Значит, 
а учитывая условие задачи, приходим к выводу, что 
а прямая SC параллельна AN. Следовательно, 
трапеции прямой, а длина 
(рис. 3). Как и раньше, длина перпендикуляра 
Острый угол 
является внешним для трапеции и треугольника 
поэтому 
находим 
то 
В трапецию вписана окружность, причем сторона AB делится точкой касания на отрезки длины 
и 
Определите длину боковой стороны CD трапеции.
Точка K лежит на продолжении луча BC за точку C, 
Кроме того, 
и — точки пересечения диагоналей четырехугольников и соответственно. Докажите, что 
Тогда, по признаку описанного четырёхугольника, 
Тогда 
Значит, треугольник ADH равнобедренный и биссектриса угла A является в нём серединным перпендикуляром к DH. Но тогда это и серединный перпендикуляр в треугольнике CDH, а серединный перпендикуляр к стороне треугольника пересекает большую из оставшихся сторон, то есть BH.
Тогда, по признаку описанного четырёхугольника, 
Тогда 
Значит, треугольник CDH равнобедренный и биссектриса угла D является в нём серединным перпендикуляром к CH. Но тогда это и серединный перпендикуляр в треугольнике CBH, а серединный перпендикуляр к стороне треугольника пересекает большую из оставшихся сторон, то есть BH.
Точка K лежит на продолжении луча AB за точку B, 
Кроме того, 
O и X — точки пересечения диагоналей четырехугольников ABCD и KLBC соответственно. Докажите, что 
Найдите высоту трапеции, если длина 
где Q — середина большего основания.
(по условию). Пусть точка О — точка пересечения диагоналей, точка H — основание перпендикуляра, опущенного из K на основание ML, тогда KH — искомая высота. 
—
тогда искомая высота 
Докажите, что треугольник BCE — равнобедренный.
угол CAD и равные ему углы. Пусть 
— точка, симметричная точке C относительно прямой AD. Тогда 
—
вписанный. Тогда 
проходит через точку E, и тогда 
середина отрезка 
Следовательно, 
поэтому 
В силу параллельности 
и 
Пользуясь леммой, имеем 
Приведём этот случай к предыдущему с помощью сжатий. А именно, будем сдвигать BC к AD в направлении, перпендикулярном AD (на рисунке — вниз). При этом углы CAD и CDA уменьшаются, значит, 
увеличивается. Можно привести BC в такое положение, что 
По уже доказанной части задачи, в этом случае сумма боковых сторон будет не меньше основания. Но боковые стороны в процессе сжатия уменьшились (по теореме Пифагора), а основание не изменилось. Значит, до сжатия это неравенство тем более выполнялось.