Пусть ос­но­ва­ния тра­пе­ции  — AD и BC, а диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Рас­смот­рим сна­ча­ла более слож­ный слу­чай, когда

Лемма. Пусть на сто­ро­не про­из­воль­но­го тре­уголь­ни­ка ABC по­стро­ен вовне пра­виль­ный тре­уголь­ник ABK. Тогда для любой точки P имеет место не­ра­вен­ство

До­ка­за­тель­ство леммы: по­стро­им пра­виль­ный тре­уголь­ник APM, ори­ен­ти­ро­ван­ный как ABK. Тогда тре­уголь­ни­ки AKM и ABP равны по двум сто­ро­нам и углу, и

Те­перь по­стро­им па­рал­ле­ло­грам­мы BCED и ABDK. Тре­уголь­ник KDE по­лу­ча­ет­ся из ABC пе­ре­но­сом на век­тор по­это­му В силу па­рал­лель­но­сти и

Имея в виду при­ме­нить лемму, от­ло­жим пра­виль­ный тре­уголь­ник CNE вовне CKE. Тре­уголь­ни­ки KEN и ACE равны по двум сто­ро­нам и углу 120° между ними, по­это­му Поль­зу­ясь лем­мой, имеем

что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Те­перь рас­смот­рим более про­стой слу­чай, когда При­ведём этот слу­чай к преды­ду­ще­му с по­мо­щью сжа­тий. А имен­но, будем сдви­гать BC к AD в на­прав­ле­нии, пер­пен­ди­ку­ляр­ном AD (на ри­сун­ке  — вниз). При этом углы CAD и CDA умень­ша­ют­ся, зна­чит, уве­ли­чи­ва­ет­ся. Можно при­ве­сти BC в такое по­ло­же­ние, что По уже до­ка­зан­ной части за­да­чи, в этом слу­чае сумма бо­ко­вых сто­рон будет не мень­ше ос­но­ва­ния. Но бо­ко­вые сто­ро­ны в про­цес­се сжа­тия умень­ши­лись (по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра), а ос­но­ва­ние не из­ме­ни­лось. Зна­чит, до сжа­тия это не­ра­вен­ство тем более вы­пол­ня­лось.

----------

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 1910.