РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 499 Добавить в вариант

В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD и BC из вершин B и D к диагонали AC проведены перпендикуляры BH и DK. Известно, что основания перпендикуляров лежат на отрезке AC и $AC=20,$ $AK=19,$ $AH=3.$ Найти площадь трапеции ABCD.

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что прямоугольные треугольники DKA и BHC подобны, так как $\angle BCH=\angle DAK.$ Пусть $DK=x,$ $BH=y.$ Ввиду подобия

$дробь: числитель: DK, знаменатель: KA конец дроби = дробь: числитель: BH, знаменатель: HC конец дроби \Rightarrow дробь: числитель: x, знаменатель: 19 конец дроби = дробь: числитель: y, знаменатель: 17 конец дроби .$

С другой стороны, $CD=AB$ и по теореме Пифагора:

$CD в квадрате =DK в квадрате плюс KC в квадрате =x в квадрате плюс 1,$

$AB в квадрате =BH в квадрате плюс HA в квадрате =y в квадрате плюс 9.$

Отсюда $x в квадрате минус y в квадрате =8.$ Так как, то, подставляя в последнее уравнение, получим:

$\quad x= дробь: числитель: 19, знаменатель: 3 конец дроби ,$ $\quad y= дробь: числитель: 17, знаменатель: 3 конец дроби ,$ $\quad _ABCD= дробь: числитель: AC умножить на левая круглая скобка DK плюс BH правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби =20 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 19, знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 17, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка =120.$

Ответ: 120.

Открытая олимпиада вузов Томской области, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Четырехугольник: трапеция, Методы геометрии. Подобие, Методы геометрии. Теорема Пифагора

Спрятать решение · Помощь