РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 593 Добавить в вариант

В трапеции ABCD боковая сторона BC равна диагонали BD. На меньшей дуге AB описанной окружности треугольника ABC выбрана точка E так, что BC  =  BE. Найдите $\angle AED.$

Спрятать решение

Решение.

Из равнобедренности треугольника BCD и параллельности AB и CD получаем

$\angle B C D=\angle B D C=\angle D B A= альфа .$

Пусть прямая CD пересекается с описанной окружностью треугольника ABC в точке F. Тогда BCFA  — вписанная, т. е. равнобедренная, трапеция, откуда дуги BC, BE и AF равны. Отсюда $\angle B C E=\angle A C F= бета$ и $\angle E B A=\angle E C A= гамма ,$ так как эти углы опираются на одну дугу. Тогда

$\angle B C A=\angle B C E плюс \angle E C A= бета плюс гамма .$

$\angle E B D=\angle E B A плюс \angle D B A= гамма плюс альфа .$

Значит, в равнобедренном треугольнике EBD выполняется равенство

$\angle B D E=\angle B E D= дробь: числитель: 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа минус гамма , знаменатель: 2 конец дроби .$

Кроме того,

$альфа =\angle B C D=\angle B C F=\angle B C A плюс \angle A C F=2 бета плюс гамма ,$

$\angle A E D=\angle B E A минус \angle B E D= левая круглая скобка 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle B C A правая круглая скобка минус дробь: числитель: 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа минус гамма , знаменатель: 2 конец дроби =180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус бета минус гамма минус 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс$ $\angle A E D=\angle B E A минус \angle B E D=$
$= левая круглая скобка 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle B C A правая круглая скобка минус дробь: числитель: 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа минус гамма , знаменатель: 2 конец дроби =180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус бета минус гамма минус 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс$ $\angle A E D=\angle B E A минус \angle B E D=$
$= левая круглая скобка 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle B C A правая круглая скобка минус дробь: числитель: 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа минус гамма , знаменатель: 2 конец дроби =$
$=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус бета минус гамма минус 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс$ $дробь: числитель: 2 бета плюс 2 гамма , знаменатель: 2 конец дроби =90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Ответ: 90°.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Только ответ — 0 баллов.

Идея дополнительного построения, аналогичного точке F в авторском решении −0,5 балла.

Выписаны все или почти всего углы, равные α, β, γ — ещё 0,5 балла.

Получено равенство $альфа =2 бета плюс гамма$  — ещё 0,5 балла.

Аналоги к заданию № 550: 593 Все

Открытая олимпиада школьников, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Окружности и многоугольник, Геометрия: планиметрия. Четырехугольник: трапеция

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь