РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 550 Добавить в вариант

В трапеции ABCD боковая сторона AB равна диагонали AC. На меньшей дуге AD описанной окружности треугольника ABD выбрана точка E так, что AB  =  AE. Найдите $\angle CED.$

Спрятать решение

Решение.

Из равнобедренности треугольника ABC и параллельности BC и AD получаем

$\angle A B C=\angle A C B=\angle C A D= альфа .$

Пусть прямая BC пересекается с описанной окружностью треугольника ABD в точке F. Тогда ABFD  — вписанная, т. е. равнобедренная, трапеция, откуда дуги AB, AE и DF равны. Отсюда

$\angle A B E=\angle D B F= бета .$

$\angle E A D=\angle E B D= гамма ,$

так как эти углы опираются на одну дугу. Отсюда

$\angle A B D=\angle A B E плюс \angle E B D= бета плюс гамма .$

$\angle E A C=\angle E A D плюс \angle C A D= гамма плюс альфа .$

Значит, в равнобедренном треугольнике EAC выполняется равенство

$\angle A C E=\angle A E C= дробь: числитель: 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа минус гамма , знаменатель: 2 конец дроби .$

Кроме того,

$альфа =\angle A B C=\angle A B F=\angle A B D плюс \angle 2 B F=2 бета плюс гамма ,$

$\angle C E D=\angle A E D минус \angle A E C= левая круглая скобка 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle A B D правая круглая скобка минус дробь: числитель: 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа минус гамма , знаменатель: 2 конец дроби =180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус бета минус гамма минус 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс$ $\angle C E D=\angle A E D минус \angle A E C=$
$= левая круглая скобка 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle A B D правая круглая скобка минус дробь: числитель: 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа минус гамма , знаменатель: 2 конец дроби =180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус бета минус гамма минус 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс$ $\angle C E D=\angle A E D минус \angle A E C=$
$= левая круглая скобка 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle A B D правая круглая скобка минус дробь: числитель: 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа минус гамма , знаменатель: 2 конец дроби =$
$=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус бета минус гамма минус 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс$ $дробь: числитель: 2 бета плюс 2 гамма , знаменатель: 2 конец дроби =90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Ответ: 90°.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Только ответ — 0 баллов.

Идея дополнительного построения, аналогичного точке F в авторском решении — 0,5 балла.

Выписаны все или почти всего углы, равные α, β, γ — ещё 0,5 балла.

Получено равенство $альфа =2 бета плюс гамма$  — ещё 0,5 балла.

Аналоги к заданию № 550: 593 Все

Открытая олимпиада школьников, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Окружности и многоугольник, Геометрия: планиметрия. Четырехугольник: трапеция

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь