Всего: 939 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 …
Добавить в вариант
которые делятся на произведение пятизначных чисел 
и 
Если a1, a2, a3, a4, a5, b1, b2, b3, b4, b5 — цифры, 
делится на AB. Тогда B делится на A, при этом число 
однозначное. При этом k больше 1 и делит 105, следовательно, 
Число 
—
делителем.
невозможны, поскольку в каждом из них у числа 
нет собственных пятизначных делителей.Сколько клеток нужно отметить на клетчатой доске 8 на 8 так, чтобы каждая клетка доски, включая отмеченные, была соседней по стороне с некоторой отмеченной клеткой? Найдите все возможные ответы. Считаем, что клетка не является соседней сама с собой.
Михаил выезжает из Бердска в Черепаново в 8:00 утра; в тот же день, в то же время и по той же дороге ему навстречу из Черепаново в Бердск выезжают Харитон и Николай. В 9:30 утра Харитон находился ровно на полпути между Михаилом и Николаем; в 10:00 утра Михаил находился ровно на полпути между Харитоном и Николаем. Определите, в какое время встретились Михаил и Харитон, и в какое время встретились Михаил и Николай, если все они двигались с постоянными скоростями?
Из того, что в 10:00 утра Михаил находился ровно на полпути между Харитоном и Николаем следует,
Время, необходимое для встречи Михаила и Харитона, равно 
будет 
и тогда все четыре выражения в условии равны 0 и между собой. Если же c = 0,bd = 0 и одно из b, d равно 0, то есть снова три из переменных равны 0. Аналогично, все четвёрки, в которых три переменных равны 0, a четвёртое произвольно, являются решениями задачи. 
то есть 
Обозначим 
тогда и 
Подставим полученные выражения в равенства из условия, получим 
и 
В этом случае получаем четвёрку чисел 
то 
и 
В итоге, система уравнений из условия имеет 8 бесконечных серий решений, получающихся умножением каждого из чисел 
где x, y — длины некоторых двух сторон треугольника. Последнее неравенство следует из того, что 
и равенство не достигается.
при x > 0.Неправильный шестиугольник ABCDEF, у которого стороны AB, CD и EF равны, вписан в окружность с центром О, вершины располагаются на окружности по часовой стрелке в алфавитном порядке. Обозначим точку пересечения диагоналей AC и BD за M, диагоналей CE и DF — за N, а диагоналей AE и BF — за K. Докажите, что треугольники АСЕ и МNK подобны.
Четырёхугольник ABCD тоже вписанный (в исходную окружность), поэтому углы ABM = ABD и ACD = MCD равны, как опирающиеся на общую хорду AD, поэтому угол MCD равен 180° – x. Но и четырёхугольник MCDN вписанный, поэтому в нём угол MND, противоположный углу MCD, равен 
Отсюда следует равенство углов АКМ и МND. В одной из вершин куба сидят N бабочек, остальные семь вершин пусты. Каждую минуту с одной из вершин куба по одной бабочке перелетают в каждую из трёх соседних с данной по ребру вершин куба, одна — в противоположную (относительно центра) его вершину, и ещё одна — улетает вдаль и больше не возвращается. Найти все значения N, при которых через некоторое время в каждой вершине куба может оказаться одинаковое число бабочек.
ситуация, когда через некоторое время в каждой вершине может оказаться одинаковое число бабочек, возможна. Занумеруем вершины куба, сначала вершины нижнего основания по часовой стрелке от Салон сотовой связи продал 495 телефонов, базовая цена каждого из которых составляла 5000 руб. При этом каждый
где 
При этом общая сумма скидок, равная 
при r = 0 и r = 2 не имеет целых корней, а при r = 1 получается x = 27. Искомое m теперь находим как неполное частное от деления 495 на 
при этом 
Поскольку 
оканчивается на 2023. Каким наименьшим может быть количество цифр в последнем слагаемом?
и дает при делении на 10 000 равна 
и дает при делении на 10 000 такой же остаток, что и S. Поэтому выполнено равенство 
—
На поверхности куба 
построена замкнутая линия, каждая точка X которой обладает следующим свойством: длина кратчайшего пути по поверхности куба между точками X и A равна длине кратчайшего пути по поверхности куба между X и 
Найдите длину этой линии, если длина ребра куба равна 1.
BC, CD, 
и отрезками 
AC, 
линия, о которой идет речь в условии задачи, разбивается на 12 равных частей. Поэтому достаточно рассмотреть точки, принадлежащие треугольнику ABC.
—
вершина K которой принадлежит ребру BC (в случае 
имеем просто отрезок 
). На ребрах куба объединение граней ABCD и 
представляет собой прямоугольник 
а ломаная 
—
означает, что P лежит на серединном перпендикуляре к отрезку 
этот перпендикуляр пересекается с треугольником ABC по отрезку MN, где M — середина ребра BC, а N — точка на отрезке AC, угол AMN равен 90° (см. рис.). 
откуда: 
y > 0, 
второе уравнение системы имеет вид 
то y < 0, и система не имеет решений. 
имеет ровно один положительный корень, причем исходная система тогда и только тогда не имеет решений, когда этот корень равен 
или 1 . Первое из этих чисел является корнем при 
второе при 
Фитнес-центр продал 515 годовых абонементов, базовая цена каждого из которых составляла 8000 рублей. При этом каждый
скидкой. Количество остальных акционных абонементов тогда выражается формулой 
где 
При этом общая сумма скидок, равная 
при 
не имеет целых корней, а при r = 3 получается x = 25. Искомое m теперь находим как частное от деления 515 на 
Поскольку 
оканчивается на 2023. Каким наименьшим может быть количество цифр в последнем слагаемом?
и дает при делении на 10 000 такой же остаток, что и S. Поэтому выполнено равенство 
Следовательно, искомое решение n равно 
На поверхности правильного тетраэдра ABCD построена замкнутая линия, каждая точка X которой обладает следующим свойством: длина кратчайшего пути по поверхности тетраэдра между X и серединой ребра AB равна длине кратчайшего пути по поверхности тетраэдра между X и серединой ребра CD. Найдите длину этой линии, если длина ребра тетраэдра равна 1.
имеем просто отрезок PN). На развертке тетраэдра объединение граней ABC и ADC представляет собой ромб ABCD, а ломаная PKN — отрезок PN в нем. Условие PM = PN означает, что P лежит на серединном перпендикуляре к отрезку MN; следовательно, геометрическим местом точек P служит отрезок QR, где Q — cередина ребра AC (и середина отрезка MN) R — точка на отрезке MC, угол MQR равен 90° (см. рис.).
Поэтому 
Умножив это число на 8, получим: 
откуда 
Подставив 
во второе уравнение, получим 
и дискриминант 
отрицателен, то действительных корней нет вообще. Итак при 
исходная система решений не имеет. 
хотя бы один положительный корень у квадратного уравнения есть, поскольку сумма корней и их произведение имеют одинаковый знак. Если же один из корней равен 3, то 
и уравнение 
а исходная система имеет решение 
Точка R1 — середина отрезка ST; точка R2 — середина отрезка SR1; для каждого 
точка Rn — середина отрезка 
Пусть R — предельное положение точки Rn при 
Найдите длину отрезка RT, если длина отрезка ST равна 15 .
тогда Rn — середина отрезка 
для каждого 
Легко видеть, что на отрезке точки будут расположены в следующем порядке: 
в два раза меньше длины отрезка 
откуда длина отрезка 
в четыре раза меньше длины отрезка 
Значит, 
Разности между ними равны 
Тогда числа 
покрашены в один и тот же цвет. Противоречие, ведь 
и числа 11 и 29 должны быть покрашены в разные цвета.| 1 | 2 | 3 | |
| Молибден | 8% | 3% | 8% |
| Титан | 36% | 21% | 6% |
| Алюминий | 55% | 76% | 15% |
На заводе имеются в достаточном количестве три сплава титана, алюминия и молибдена. Все сплавы с примесями. Процентное содержание компонентов в этих сплавах приведено в таблице. Из этих сплавов необходимо приготовить новый сплав, в котором алюминия должно быть не больше 38%, а молибдена — не меньше 5%. Какое наибольшее и какое наименьшее содержание титана (в процентах) может быть в этом сплаве?
(x и y — масса сплава 1 и 3 соответственно), откуда 
т. е. можно взять 23 части сплава 1 и 17 частей сплава 3. Тогда содержание титан а в процент ах будет 
первого, второго и третьего сплава соответственно, причём 
Тогда условия задачи можно записать так: 
а ордината точки C — 
При этом коэффициент при x в (⁎) больше. Значит, значение в точке B точно больше (мы большее число умножаем на большее число), и равно 