При каком наименьшем n можно покрасить каждое натуральное число в один из n цветов так, чтобы любые два числа, отличающиеся на 5, на 8, на 10, на 13 и на 18, были покрашены в разные цвета?
Докажем для начала, что четырьмя и меньше цветами обойтись не удастся. Посмотрим на числа 
Разности между ними равны
т. е. любые два из этих чисел покрашены в различные цвета. Значит, цветов хотя бы четыре. Предположим, что цветов ровно четыре. Тогда числа n, n + 5, n + 10, и n + 18 покрашены во все возможные цвета. Аналогично можно получить, что во все возможные цвета покрашены числа n, n + 5, n + 13 и n + 18. Значит, для каждого натурального n числа n + 10 и n + 13 должны быть покрашены в один и тот же цвет.
Применим полученное утверждение для 
Тогда числа 
покрашены в один и тот же цвет. Противоречие, ведь 
и числа 11 и 29 должны быть покрашены в разные цвета.
Докажем теперь, что пять цветов достаточно. Для этого разобьём все натуральные числа на группы по 5 подряд идущих чисел, а группы покрасим так: первую — в первый, вторую — во второй, ... пятую — в пятый, шестую — в первый, седьмую — во второй, ... . При такой раскраске числа одного цвета будут или отличаться не более чем на 4, если лежат в одной пятёрке, или хотя бы на 21 — если в разных. Значит, числа, отличающиеся на 5, 8, 10, 13 и 18, будут покрашены в разные цвета.
Ответ: 5.