При каком наименьшем n можно покрасить каждое натуральное число в один из n цветов так, чтобы любые два числа, отличающиеся на 7, на 10, на 14, на 17 и на 24, были покрашены в разные цвета?
Решение. Докажем для начала, что четырьмя и меньше цветами обойтись не удастся. Посмотрим на числа n, n + 7, n + 14, n + 24. Разности между ними равны
т. е. любые два из этих чисел покрашены в различные цвета. Значит, цветов хотя бы четыре. Предположим, что цветов ровно четыре. Тогда числа n, n + 7, n + 14, n + 24 покрашены во все возможные цвета. Аналогично можно получить, что во все возможные цвета покрашены числа n, n + 7, n + 14 и n + 24. Значит, для каждого натурального n числа n + 14, и n + 17, должны быть покрашены в один и тот же цвет.
Применим полученное ут верждение для 
Тогда числа 
покрашены в один и тот же цвет. Противоречие, ведь 
и числа 15 и 39 должны быть покрашены в разные цвета.
Докажем теперь, что пять цветов достаточно. Для этого разобьём все натуральные числа на группы по 7 подряд идущих чисел, а группы покрасим так: первую - в первый, вторую - во второй, ..., пятую — в пятый, шестую — в первый, седьмую — во второй, ... . При такой раскраске числа одного цвета будут или отличаться не более чем на 6 , если лежат в одной семёрке, или хотя бы на 29 — если в разных. Значит, числа, отличающиеся на 7, 10, 14, 17 и 24, будут покрашены в разные цвета.
Ответ: 5.
Критерии проверки:| Критерии оценивания | Балл |
|---|
| Верное решение без существенных недочетов | + |
| В целом задача решена, хотя и с недочетами | + − |
| Задача не решена, но есть заметное продвижение | − + |
| Задача не решена, заметных продвижений нет | − |
| Задача не решалась | 0 |
Ответ: 5.
