За­ме­тим, что как бы ни из­го­тав­ли­ва­ли новый сплав, со­дер­жа­ние ти­та­на в нём будет не мень­ше ми­ни­маль­но­го из со­дер­жа­ний ти­та­на в име­ю­щих­ся спла­вах. По­это­му со­дер­жа­ние ти­та­на в любом из­го­тов­лен­ном спла­ве будет не менее 6%. С дру­гой сто­ро­ны, сплав 3 под­хо­дит под усло­вия на со­дер­жа­ние алю­ми­ния и мо­либ­де­на. Зна­чит, наи­мень­шее со­дер­жа­ние ти­та­на  — 6%.

Те­перь найдём наи­боль­шее со­дер­жа­ние ти­та­на в таком спла­ве. За­ме­тим, что если при из­го­тов­ле­нии но­во­го спла­ва мы ис­поль­зо­ва­ли сплав 2, то можно его за­ме­нить на сплав 1: от этого со­дер­жа­ние алю­ми­ния умень­шит­ся, а мо­либ­де­на и ти­та­на  — уве­ли­чит­ся. По­это­му в спла­ве с наи­боль­шим со­дер­жа­ни­ем ти­та­на не участ­ву­ет сплав 2.

Сразу от­ме­тим, что тогда в таком спла­ве будет 8% мо­либ­де­на, т. е. он под­хо­дит под усло­вие на мо­либ­ден. В спла­ве 1 титан а боль­ше, чем в спла­ве 3, но сплав 1 не под­хо­дит под усло­вие на алю­ми­ний. По­нят­но, что чем мень­ше мы возьмём спла­ва 3, тем боль­ше будет ти­та­на в из­го­тов­лен­ном спла­ве. Возьмём ровно столь­ко, чтобы вы­пол­ни­лось усло­вие на алю­ми­ний: (x и y  — масса спла­ва 1 и 3 со­от­вет­ствен­но), от­ку­да т. е. можно взять 23 части спла­ва 1 и 17 ча­стей спла­ва 3. Тогда со­дер­жа­ние титан а в про­цент ах будет

Ответ: 6 и 23,25.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пусть взято x, y и пер­во­го, вто­ро­го и тре­тье­го спла­ва со­от­вет­ствен­но, причём Тогда усло­вия за­да­чи можно за­пи­сать так:

Изоб­ра­зим на ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти об­ласть (см. рис.), удо­вле­тво­ря­ю­щую си­сте­ме не­ра­венств

Про­цент­ное со­дер­жа­ние ти­та­на

Легко ви­деть, что ми­ни­мум этого числа до­сти­га­ет­ся в точке A и равен 6. Чтобы найти мак­си­мум, за­ме­тим, что абс­цис­са точки B равна а ор­ди­на­та точки C  — При этом ко­эф­фи­ци­ент при x в (⁎) боль­ше. Зна­чит, зна­че­ние в точке B точно боль­ше (мы боль­шее число умно­жа­ем на боль­шее число), и равно

Ком­мен­та­рий.

При дру­гом вы­бо­ре пе­ре­мен­ных (на­при­мер, x пер­во­го спла­ва, вто­ро­го и y тре­тье­го) будут по­лу­чать­ся дру­гие функ­ции и дру­гие об­ла­сти. При этом ре­ше­ние может стать как чуть проще, так и не­мно­го слож­нее. В ре­ше­нии выше спе­ци­аль­но вы­бран наи­бо­лее «без­дум­ный путь.

Ком­мен­та­рий.

За­да­ча имеет от­но­ше­ние к теме «ли­ней­ное про­грам­ми­ро­ва­ние»: на­хож­де­ние экс­тре­му­мов на мно­же­ствах, за­да­ва­е­мых си­сте­ма­ми ли­ней­ных урав­не­ний и не­ра­венств. Не­слож­но по­ка­зать, что для ли­ней­ной функ­ции мак­си­мум и ми­ни­мум до­сти­га­ют­ся в одной из вер­шин мно­го­уголь­ни­ка мно­жеств всех точек, для ко­то­рых вы­пол­ня­ют­ся усло­вия. Тогда за­да­ча ре­ша­ет­ся чисто ал­го­рит­ми­че­ски: до­ста­точ­но по­стро­ить мно­го­уголь­ник, найти все его вер­ши­ны и в каж­дой по­счи­тать зна­че­ние тре­бу­е­мой функ­ции (так устро­е­но вто­рое ре­ше­ние выше).

Для про­из­воль­ных кон­стант такая задач а на­гру­же­на тех­ни­че­ски и для олим­пи­а­ды ско­рее не­удач­на. В пред­ло­жен­ных ва­ри­ан­тах числа по­до­бра­ны так, чтобы экс­тре­мум можно было найти не­слож­ны­ми рас­суж­де­ни­я­ми (так устро­е­ние пер­вое ре­ше­ние выше), а не про­сто тех­ни­че­ски.