РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 9065 Добавить в вариант

Точка R₁  — середин а отрезка PQ; точка R₂  — середина отрезка R₁Q для каждого $n больше или равно 3$ точка R_n  — середина отрезка $R_n минус 2 R_n минус 1.$ Пусть R  — предельное положение точки R_n при $n arrow бесконечность .$ Найдите длину отрезка RQ, если длина отрезка PQ равна 18.

Спрятать решение

Решение.

Обозначим P  =  R₋₁, Q  =  R₀, тогда R_n  — середина отрезка $R_n минус 2 R_n минус 1$ для каждого $n больше или равно 1.$ Легко видеть, что на отрезке точки будут расположены в следующем порядке:

$P=R_ минус 1, R_1, R_3, \ldots, R, \ldots, R_4, R_2, R_0=Q.$

Поэтому

$R Q=R_0 R_2 \pm R_2 R_4 плюс R_4 R_6 плюс ...$

Далее, длина отрезка $R_n плюс 1 R_n$ в два раза меньше длины отрезка $R_n R_n минус 1,$ откуда длина отрезка $R_n плюс 2 R_n плюс 1$ в четы ре раза меньше длины отрезка $R_n R_n минус 1.$ Значит,

$R Q=R_0 R_2 левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 в квадрате конец дроби плюс \ldots правая круглая скобка = дробь: числитель: P Q, знаменатель: 4 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби конец дроби = дробь: числитель: 18, знаменатель: 4 конец дроби умножить на дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби =6 .$

Ответ: 6.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания	Балл
Верное решение без существенных недочетов	+
В целом задача решена, хотя и с недочетами	+ −
Задача не решена, но есть заметное продвижение	− +
Задача не решена, заметных продвижений нет	−
Задача не решалась	0

Аналоги к заданию № 9055: 9065 Все

Объединенная межвузовская математическая олимпиада школьников, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2023 год

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь