1.  По­ка­жем, что при любом N  =  45k, си­ту­а­ция, когда через не­ко­то­рое время в каж­дой вер­ши­не может ока­зать­ся оди­на­ко­вое число ба­бо­чек, воз­мож­на. За­ну­ме­ру­ем вер­ши­ны куба, сна­ча­ла вер­ши­ны ниж­не­го ос­но­ва­ния по ча­со­вой стрел­ке от 1 до 4, затем вер­ши­ны верх­не­го ос­но­ва­ния по ча­со­вой стрел­ке от 5 до 8, так что пятая вер­ши­на рас­по­ло­же­на над пер­вой, ше­стая над вто­рой и т. д., а все ба­боч­ки сна­ча­ла сидят на пер­вой. Пусть за пер­вые 9k минут ба­боч­ки пе­ре­ле­та­ют толь­ко с пер­вой вер­ши­ны, после чего на вер­ши­нах 2, 4, 5, 7 ока­жут­ся по 9k ба­бо­чек, а осталь­ные вер­ши­ны будут пусты. За сле­ду­ю­щие 4k минут с каж­дой из вер­шин 2,4,5,7 вы­ле­та­ют по k ба­бо­чек, после чего уже на каж­дой вер­ши­не куба ока­жут­ся по 4k ба­бо­чек, что и тре­бо­ва­лось в усло­вии.

2.  По­ка­жем что, если через не­ко­то­рое время в каж­дой вер­ши­не куба может ока­зать­ся оди­на­ко­вое число ба­бо­чек, то N де­лит­ся на 45, то есть на 5 и 9. Назовём вер­ши­ны куба 1, 3, 6, 8 си­ни­ми, а вер­ши­ны 2,4,5,7  — крас­ны­ми. Далее за А обо­зна­ча­ем сум­мар­ное ко­ли­че­ство ба­бо­чек, си­дя­щих в дан­ный мо­мент в синих вер­ши­нах, а за В  — сум­мар­ное ко­ли­че­ство ба­бо­чек, си­дя­щих в крас­ных вер­ши­нах, сна­ча­ла A  =  N , B  =  0. За­ме­тим, что каж­дую ми­ну­ту из одной из вер­шин куба пе­ре­ле­та­ет по одной ба­боч­ке в каж­дую из четырёх вер­шин про­ти­во­по­лож­но­го цвета, а одна уле­та­ет прочь. Всего при этом одно из чисел А и В умень­ша­ет­ся на 5 , а вто­рое  — уве­ли­чи­ва­ет­ся на 4. Сле­до­ва­тель­но, раз­ность А − В каж­дую ми­ну­ту из­ме­ня­ет­ся на 9 в боль­шую или мень­шую сто­ро­ну. В на­ча­ле про­цес­са A B  =  N, а в конце, когда на каж­дой вер­ши­не уся­дут­ся оди­на­ко­вые ко­ли­че­ства ба­бо­чек и A ста­нет рав­ным B, раз­ность A − B  =  0. Сле­до­ва­тель­но, N де­лит­ся на 9. Те­перь рас­смот­рим раз­ность М ко­ли­че­ства ба­бо­чек на вер­ши­нах 1 и 3. При перелётах ба­бо­чек с крас­ных вер­шин на каж­дой из вер­шин 1 и 3 до­бав­ля­ет­ся по одной ба­боч­ке, по­это­му М не ме­ня­ет­ся. При перелётах ба­бо­чек с синих вер­шин либо ровно одно из ко­ли­честв ба­бо­чек в вер­ши­нах 1 и 3 умень­ша­ет­ся на 5, либо оба оста­ют­ся не­из­мен­ны­ми. В этом слу­чае М каж­дую ми­ну­ту из­ме­ня­ет­ся на 5 в боль­шую или мень­шую сто­ро­ну. Сна­ча­ла M тоже равна N, а в конце нулю, по­это­му N долж­но де­лить­ся на 5. Итак, до­ка­за­но, что N де­лит­ся на 5 и 9, то есть де­лит­ся на 45.

Ответ: любое N, де­ля­ще­е­ся на 45.