Пусть M и N се­ре­ди­ны ребер AB и CD со­от­вет­ствен­но. Из со­об­ра­же­ний сим­мет­рии ясно, что реб­ра­ми AC, BC, BD, AD и от­рез­ка­ми AN, BN, CM, DM линия, о ко­то­рой идет речь в усло­вии за­да­чи раз­би­ва­ет­ся на 8 рав­ных. По­это­му до­ста­точ­но рас­смот­реть точки, при­над­ле­жа­щие тре­уголь­ни­ку AMC.

Пусть P  — одна из таких точек. Тогда крат­чай­шим путем между P и M слу­жит от­ре­зок PM, а крат­чай­шим путем между P и N  — двух­звен­ная ло­ма­ная PKN, вер­ши­на K ко­то­рой при­над­ле­жит ребру AC (в слу­чае имеем про­сто от­ре­зок PN). На раз­верт­ке тет­ра­эд­ра объ­еди­не­ние гра­ней ABC и ADC пред­став­ля­ет собой ромб ABCD, а ло­ма­ная PKN  — от­ре­зок PN в нем. Усло­вие PM  =  PN озна­ча­ет, что P лежит на се­ре­дин­ном пер­пен­ди­ку­ля­ре к от­рез­ку MN; сле­до­ва­тель­но, гео­мет­ри­че­ским ме­стом точек P слу­жит от­ре­зок QR, где Q  — cере­ди­на ребра AC (и се­ре­ди­на от­рез­ка MN) R  — точка на от­рез­ке MC, угол MQR равен 90° (см. рис.).

Най­дем длину от­рез­ка QR. Легко ви­деть, что угол QMR равен 30°, а от­ре­зок QM, бу­дучи сред­ней ли­ни­ей тре­уголь­ни­ка ABC, имеет длину По­это­му Умно­жив это число на 8, по­лу­чим:

Ответ: