1.  Из ра­вен­ства сто­рон AB, CD и ЕF сле­ду­ет, что тре­уголь­ник BDF по­лу­ча­ет­ся из тре­уголь­ни­ка ACE по­во­ро­том от­но­си­тель­но О, по­это­му дан­ные тре­уголь­ни­ки равны.

2.  В четырёхуголь­ни­ке АВМК углы КАМ и КВМ равны, как со­от­вет­ствен­ные углы рав­ных тре­уголь­ни­ков ACE и BDF, по­это­му он яв­ля­ет­ся впи­сан­ным. Ана­ло­гич­но, впи­сан­ны­ми яв­ля­ют­ся и четырёхуголь­ни­ки MCDN и NEFK.

3.  Обо­зна­чим ве­ли­чи­ну угла АКM за x. Четырёхуголь­ник АВMKвпи­сан­ный, по­это­му про­ти­во­по­лож­ный АКМ угол АВM равен Четырёхуголь­ник ABCD тоже впи­сан­ный (в ис­ход­ную окруж­ность), по­это­му углы ABM  =  ABD и ACD  =  MCD равны, как опи­ра­ю­щи­е­ся на общую хорду AD, по­это­му угол MCD равен 180° – x. Но и четырёхуголь­ник MCDN впи­сан­ный, по­это­му в нём угол MND, про­ти­во­по­лож­ный углу MCD, равен От­сю­да сле­ду­ет ра­вен­ство углов АКМ и МND.

4.  Обо­зна­чим ве­ли­чи­ну угла EKN за y. Четырёхуголь­ник NEFK впи­сан­ный, по­это­му углы EKN и EFN равны y, как опи­ра­ю­щи­е­ся на общую хорду EN. Пе­ре­хо­дя ко впи­сан­но­му в ис­ход­ную окруж­ность четырёхуголь­ни­ку CDEF, по­лу­ча­ем ра­вен­ство y впи­сан­ных углов EFN  =  EFD и ECD, опи­ра­ю­щих­ся на общую хорду ED. На­ко­нец, во впи­сан­ном четырёхуголь­ни­ке MCDN имеем ра­вен­ство y впи­сан­ных углов NMD и NCD  =  ECD, опи­ра­ю­щих­ся на общую хорду ND.

5.  Из тре­уголь­ни­ка NMD сле­ду­ет, что ве­ли­чи­на угла MDN равна 180° – x – y. С дру­гой сто­ро­ны, сумма углов EKN, MKN и AKM равна 180°, и, как мы уже до­ка­за­ли, ве­ли­чи­ны углов AKM и EKN равны x и y со­от­вет­ствен­но. Сле­до­ва­тель­но, ве­ли­чи­на угла MKN од­но­имен­но­го тре­уголь­ни­ка равна ве­ли­чи­не угла MDN  =  BDF тре­уголь­ни­ка BDF, что равно и углу АСЕ од­но­имен­но­го тре­уголь­ни­ка. Ана­ло­гич­но до­ка­зы­ва­ют­ся ра­вен­ство углов KNM и CAE, и ра­вен­ство углов KMN и AEC. Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки АСЕ и MNK по­доб­ны по трём углам, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.