Доказать, что для любых трёх положительных действительных чисел x, y, z выполнено неравенство
Указать все тройки x, y, z для которых в нём достигается равенство.
1. Заметим, что, если x, y, z являются длинами сторон некоторого треугольника, то есть когда каждая из трёх последних скобок произведения в правой части положительна, в правой части ввиду формулы Герона записано число 16S2, где S — площадь этого треугольника. Следовательно, в этом случае неравенство из условия эквивалентно неравенству 
где x, y — длины некоторых двух сторон треугольника. Последнее неравенство следует из того, что
где α — угол между сторонами длин x и y. Заметим, что знак равенства в неравенстве возможен, только когда
и
то есть когда x, y, z — длины сторон равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами x и y = x.
2. Пусть теперь положительные числа x, y, z не являются длинами сторон никакого треугольника, тогда ровно одна из скобок в произведении в правой части не положительна — та, которая соответствует вычитанию наибольшего из этих чисел. Следовательно, в этом случае произведение в правой части неравенства будет не положительно, а выражение в правой — положительно, поэтому неравенство выполняется и в этом случае. При этом 
и равенство не достигается.
Ответ: все тройки положительных чисел x, y, z являющихся длинами сторон равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами x, x, то есть тройки x, x, 
при x > 0.