Всего: 335 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 …
Добавить в вариант
тогда производная — это 
Её дискриминант должен быть равен 0 , то есть
имеет ровно один корень — 0,5 балла.
и 
но известно, в каком порядке. Всегда ли можно определить, где именно каждое из чисел?
и, кроме того, 
Тогда на доске находятся, во-первых, числа 
и 
а, во-вторых, 
в степень минус два (мы это можем делать, так как всё равно ищем положительные решения) и получим 
что, после замены 
решим уравнение
Осталось убедиться, что при таком значении 
все четыре числа различны. Это правда, так как числа из одной пары 
совпадают при квадрате косинуса равном 1; совпадение чисел из разных пар означает равенство и вторых чисел тоже, откуда синус угла равен его тангенсу или котангенсу, что также не выполняется при найденном значении. Кроме того, что отсутствует на доске, так как 
аналогично для 
Дана пирамида ABCD, в основании которой лежит правильный треугольник ABC. Сфера радиусом 10 с центром в точке D пересекает стороны AD, BD и CD в отношении 2 : 1 (считая от вершины D) и касается грани ABC. Найдите объём пирамиды.
В правильном треугольнике ABC это радиус описанной окружности, откуда 
На собрании присутствовали рыцари, всегда говорящие правду, и лжецы, которые всегда лгут (точно есть и те, и другие). Каждый сказал: «Я знаком хотя бы с 14 рыцарями на этом собрании» и «Я знаком хотя бы с 10 лжецами на этом собрании». Какое наименьшее количество людей могло собраться?
то есть хотя 
Тогда рыцарь номер 15 знает 12 лжецов, рыцари 1 и 14 знают по 11 лжецов, остальные по 
В описанном пятиугольнике ABCDE даны длины сторон: AB = 11, BC = 9, CD = 10, DE = 14 и EA = 12. Диагонали AC и BD пересекаются в точке M. Найдите отношение площадей треуголньиков CME и BME.
Куб 
состоит из 343 маленьких кубиков 
(назовём их ячейками). Ячейки называются соседними, если имеют общую грань. Таким образом, у каждой ячейки не более не более 6 соседних.
В каждой ячейке записано неотрицательное число. Сумма чисел в ячейке и во всех соседних не менее 10. Докажите, что сумма чисел во всех ячейках куба строго больше 490.
и 
Найдите x100.
следующим образом: 
то есть 
Подставив это представление 
в рекуррентную формулу, мы получим 
откуда 
Можно заметить, что разность двух соседних членов каждый раз увеличивается в два раза, что характерно для геометрической прогрессии со знаменателем 2. Значит, имеет смысл искать 
—
и 
откуда 
и 
делится на 13, а 2yz не делится, значит, и всё выражение не может делиться на 13.
делятся на 13, 
откуда 
Значит, если сумма квадратов делится на 
также должно делиться на 13, а это неверно.
его единственный корень — это 1, т. к. 
а единственный корень производной это −1.
при 
Найдите явную формулу этой последовательности.
и 
получаем 
то есть 
для 
Теперь докажем формулу 
по индукции. База 
и, действительно, 
то 
если 
Напомним, что 
а 
и 
Тогда 
и решим его относительное t: 
получаем 
и 
В ответе получаем обратные к t величины. Осталось убедиться, что для каждого из полученных значений найдётся x, при котором это значение достигается при данном A.
поэтому для любого значения 
найдётся подходящий x. Далее, A выражается через t с точностью до знака, при этом оба возможных значения A достигаются при данном t: для того, чтобы поменять знак A, достаточно увеличить или уменьшить x на π.
— ещё 0,5 балла.
так, чтобы сумма чисел в каждой строке и в каждом столбце была четна? (Числа могут повторяться)
способов выбрать, где стоят эти числа, 
способов расставить нечётные числа и 
способов расставить чётные. 
способов выбрать эти строку и столбец, 
способов расставить нечётные числа и 
способов расставить чётные. 
способов. Итого 
и нечётно.
посчитано количество вариантов. 
и Плоскость пересекает ребра тетраэдра ABCD, выходящие из вершины D, и делает их в отношении 5 : 1 (не обязательно от вершины D). Так же эта плоскость пересекает прямые AB и AC в точках E и F. Найдите отношение площадей треугольников AEF и ABC.
и 
соответственно. Если 
и 
параллельны, а значит, плоскость 
не пересекается с прямой AB. Аналогичные рассуждения проведём для прямой AC. Значит, 
При этом точка E оказывается на луче 
за точкой A, откуда 
Аналогично 
и отношение площадей равно 
(т. к. у искомых треугольников равны углы при вершине A).
При этом точка E оказывается на луче 
Аналогично 
и отношение площадей равно 
Девочка Катя не любит число 239. Она выписала несколько различных чисел, ни одно из которых не содержит последовательность цифр 239 (именно в таком порядке). Докажите, что сумма обратных к этим числам не больше 30000.
-значных
вариантов для первой цифры и не более 999 вариантов для каждой следующей тройки цифр. Каждое из них не меньше 
-значных
Каждое из них не меньше 
-значных
Каждое из них не меньше 
Тогда общая сумма чисел не больше 
не делится, значит, и всё выражение не может делиться на 11.
откуда 
Значит, если сумма квадратов делится на 11, 
делится на p не оцениваются.Существует ли многочлен пятой степени такой, что все его корни отрицательны, а все корни его производной отрицательны, при условии, что и у многочлена, и у производной есть хотя бы один корень?
его единственный корень — это −1, т. к. 
а единственный корень производной — это 1.
Найдите явную формулу этой последовательности.
по индукции. База 
и, действительно, 
Далее воспользуемся полученной рекуррентной формулой и убедимся, что если 
то 
Напомним, что 
Тогда 
получаем 
и 
В ответе получаем обратные к t величины. Осталось убедиться, что для каждого из полученных значений найдётся x, при котором это значение достигается при 
и 
так как эти углы опираются на одну дугу. Тогда
